Ангармоническое (сложное) отношение (факультатив)
Напомним, что ангармоническое (сложное) отношение четырех лучей через синусы углов ij между ними характеризуется выражением [30, с. 112]
(0(sin13/sin23):(sin14/sin24). (0)7.29( 7 .29)
Или через угловые коэффициенты tgi лучей [31, с. 148]
(0(tg1−tg3)/(tg2−tg3):(tg1−tg4)/(tg2−tg4). (0)7.30( 7 .30)
Выражение (0), с учетом того, что 31=1−3, 32=2−3, 41=1−4, легко получается из (0) (и наоборот) с помощью тригонометрических формул
tg1−tg3=sin(1−3)/(cos1cos3)=sin31/(cos1cos3),
tg2−tg4=sin(2−4)/(cos2cos4)=sin42/(cos2cos4),
tg2−tg3=sin(2−3)/(cos2cos3)=sin32/(cos2cos3),
tg1−tg4=sin(1−4)/(cos1cos4)=sin41/(cos1cos4).
Гармоническое отношение по определению характеризуется тем, что сложное отношение равно −1.
(0(sin13/sin23):(sin14/sin24)=−1. (0)(7.31( 7 .31)
Или
(tg1−tg3)/(tg2−tg3):(tg1−tg4)/(tg2−tg4)=−1.
Полагая в нашем случае tg1=−tg2 и, используя (0), получим для ангармонического отношения (1234) асимптот и сопряженных диаметров
(1234)=(tg1−tg3)/(tg2−tg3):(tg1−tg4)/(tg2−tg4)=
=(tg2+tg3)/(tg2−tg3):(tg2+tg4)/(tg2−tg4)=
=(tg2tg4+tg22)/(tg2tg4−tg22):(tg2+tg4)/(tg2−tg4)=−1.
Таким образом, сопряженные диаметры действительно гармонически разделяют направления асимптот.
Представляет интерес рассмотреть конические сечения и, в частности, гиперболу, как геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух фиксированных окружностей или, что то же, как геометрическое место центров окружностей, касающихся двух фиксированных.
При таком определении две фиксированные не пересекающиеся окружности дают пару софокусных гипербол; радиусы R1, R2 образующих окружностей и расстояние ℓ между их центрами удовлетворяют неравенству ℓ>|R1−R2|.
Полуоси гипербол пары удовлетворяют соотношениям [32]
(0a1=(R1−R2)/2, b12=(ℓ/2)2−[(R1−R2)/2]2, (0)(7.32)( 7 .32)
(0a2=(R1+R2)/2, b22=(ℓ/2)2−[(R1+R2)/2]2. (0)(7.33( 7 .33)
Кроме того имеют место и другие соотношения.
В [33] установлено, что асимптоты гипербол пары являются срединными перпендикулярами общих касательных образующих окружностей. Тогда 1, 2 – это также углы между асимптотами гипербол пары, и применительно к образующим окружностям пары гипербол после простых тригонометрических преобразований получим следующее соотношение
(0tg[(1−2)/2]tg[(1+2)/2]=R2/R1=sin, (0)(7.34( 7 .34)
где углы i следующим образом выражены через углы 1, 2 наклона асимптот (рис. ?):
1=1−2, 2=(−2)−1=−(1+2).
С учетом
(0) выражение (0)( 7 .34) может рассматриваться
как условие сопряженности диаметров
некоего конического сечения с углами
наклона (1−2)/2
и 1+2)/2,
если его полуоси пропорциональны
и
.
Оно справедливо при всех возможных ℓ
и с учетом (0), (0) преобразуется также к
виду
(0a2cos1=a1cos2. (0)(7.35( 7 .35)
Свойства асимптот гиперболы (опустить? или сократить до формулировок утверждений)(факультатив)
Нетрудно проверить, что средина общей касательной, например внешней, имеет координаты (a2cos1, a2sin1). С учетом этого соотношение (0)( 7 .35) показывает, что точки пересечения асимптот гипербол пары с соответствующими общими касательными (основания срединных перпендикуляров) лежат на одной вертикали и отсекают от асимптот отрезки, равные полуосям гипербол (рис. Error: Reference source not found).
Интересно рассмотреть случай, когда в (0)( 7 .34) имеет место соотношение
R2/R1=sin=tg2=(
−1)/2.
Отрезки общих внутренних касательных образующих окружностей делят друг друга в точке на линии центров в том же отношении, к каком отрезок внешней касательной между линией центров и точкой касания с большей окружностью делится точкой касания с малой окружностью. Абсцисса xsi точки пересечения внутренних касательных вычисляется по формуле
xsi =R1/cos2−ℓ/2=(a1/a2)ℓ/2.
Эта точка делит вместе с вершинами гипербол линию центров (отрезок ℓ/2) в соответствии с соотношением
xsi/(ℓ/2) =(a1/a2).
Для полуосей гипербол пары из (0), (0) будем иметь также
(0a22−a12=b12−b22=R1R2, a12+a22=(R12+R22)/2, b12+b22=(ℓ2/2)−(R12+R22)/2. (0)(7.36)( 7 .36)
Заметим, что между длинами ℓ1i, ℓ2i половин сопряженных диаметров имеет место аналогичное соотношение ℓ1i2−ℓ2i2=ai2−bi2, а также aibi=ℓ1iℓ2isin, –угол между сопряженными диаметрами (Брон., 323).
Возможно, что асимптоты одной гиперболы пары являются сопряженными диаметрами другой.
У каждой гиперболы пары имеется ей сопряженная. Лучи, проведенные из центров окружностей в точки касания внутренних касательных пересекаются в вершине гиперболы, сопряженной 1-й (внутренней) гиперболе. Радиусы R1, R2 образующих окружностей для пары гипербол, сопряженных исходным, будут равны
R1=b12+b22, R2=b12−b22.
Внутренняя гипербола пары пересекается с гиперболой, сопряженной внешней гиперболе, которая будет внутренней по отношению к паре сопряженных гипербол.
Как показывают вычисления, координаты точки пересечения гипербол равны
x2=a12a22(b12+b22)/(a22b12−a12b22), y2=b12b22(a12+a22)/(a22b12−a12b22),
y/x=b1b2(a12+a22)1/2/a1a2(b12+b22)1/2=tg1tg21/[ℓ2/(R12+R22)−1]1/2.
Тангенс полярного угла этой точки пересечения равен произведению тангенсов угла наклона асимптот гипербол пары, умноженному на....