5.1.Кинематика.

П оворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого , а направление совпадает с осью вращения и определяется правилом правого винта: Направление должно быть таким, чтобы глядя вдоль него, мы видели поворот совершающийся по часовой стрелке, рис.

П ри поворотах на очень малые углы, путь проходимый точкой можно считать прямолинейным, поэтому два последовательных малых поворота и (вокруг разных осей; в данном случае оси перпендикулярны) обуславливают, как видно из рис., такое же перемещение, любой точки тела, как и поворот получаемый из и сложением по правилу параллелограмма. Значит, очень малые повороты можно рассматривать как векторы. Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела, следовательно не является истинным вектором, а является псевдовектором.

Для истинных векторов типа вопрос об их направлении не возникает, он решается естественным образом, из природы самих физических величин. Векторы типа , направление которых определяется направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами.

В

екторная величина называется угловой скоростью тела, она направлена вдоль оси вращения, в сторону, определяемую правилом правого винта, также псевдовектор, модуль угловой скорости равен . Если , то наблюдается равномерное вращение , для равномерного движения есть угол поворота в единицу времени. Для такого движения можно ввести период вращения и частоту: число оборотов за 1 с. , а .

П онятия и можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под ними их мгновенные значения.

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения вокруг оси (по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ( по направлению). Если за угловая скорость получает приращение , то изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением:

— тоже псевдовектор.

Если ось вращения не изменяет своего положения в пространстве, то векторы , и коллинеарны.

Точки вращающегося тела имеют разные линейные скорости, которые определяются угловой скоростью и радиусами точек . Если за время тело повернулось на угол , то дуга окружности при этом . Линейная скорость точки: ; т.е., связь между модулями скоростей .

Найдем связь между векторами и . Положение точки определяется радиусом-вектором . Из рис. видно, что векторное произведение совпадает с по направлению, модуль равен .

Таким образом:

Модуль нормального ускорения точек или . Вводя вектор , перпендикулярный оси вращения, можно записать:

Когда ось вращения не поворачивается в пространстве, тангенциальное ускорение можно представить:

; -модуль углового ускорения, т.е., .

Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения растут пропорционально радиусу точек.

5.2. Момент импульса частицы. Момент силы.

Кроме энергии и импульса существует ещё одна физическая величина, с которой связан закон сохранения — это момент импульса. Моментом импульса частицы относительно точки О называется вектор равный векторному произведению , где -радиус-вектор частицы, -ее импульс.

Момент импульса является псевдовектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки О в направлении и вектор образуют правовинтовую систему. Модуль , где  угол между и , а

плечо вектора относительно точки О.

Найдем, с какой величиной связано изменение вектора во времени:

.

Т ак как, точка О неподвижна, то равно скорости частицы, т.е. совпадает с по направлению, тогда . Далее, учитывая, что — второй закон Ньютона, получим: .

Величина —момент силы, аксиальный вектор. Модуль , —плечо силы относительно т. О, рис.

Таким образом, производная по времени момента импульса частицы относительно некоторой т. О выбранной системы отсчета равна моменту равнодействующей силы относительно этой точки

. Это уравнение называют уравнением моментов.

Если система отсчета является неинерциальной, то момент силы включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции относительно той же т. О.

Из уравнения моментов следует что если , то - частица совершает равномерное вращательное движение. Т.е., если момент всех сил относительно т. О системы отсчета равен нулю в течение интересующего нас времени , то момент импульса частицы относительно этой точки остается постоянным.

Уравнение моментов позволяет найти момент силы точки относительно т. О в любой момент времени, если известна зависимость частицы относительно этой точки. Для этого достаточно продифференцировать уравнение .

Если известна зависимость , то можно найти приращение момента импульса частицы относительно т.О за любой промежуток времени. Для этого необходимо проинтегрировать уравнение , тогда

Выражение —импульс момента силы, подобно величине , называемой импульсом силы.

Таким образом, приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за это время.