4.7. Кинетическая энергия частицы в силовом поле.
П
усть
частица массой
движется в силовом поле под действием
силы
.
Элементарная работа этой силы на
перемещении
равна:
;
Записывая
,
а сила
, получим:
.
Скалярное произведение
где
—
проекция вектора приращения скорости
на направление вектора скорости
.
Эта величина равна
— приращению модуля
вектора
скорости. Значит,
и работа
.
Отсюда видно, что работа результирующей
силы
идет на приращение некоторой физической
величины
,
которую называют кинетической энергией
и, которая является мерой энергии
движения материальной точки. Таким
образом:
,
а кинетическая энергия
(*)
При конечном перемещении частицы из т.1 в т.2 работа равна:
,
или
(**)
Т.е., приращение кинетической энергии частицы при перемещении из т.1 в т.2 силового поля равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на этом перемещении.
Если
,
то
— кинетическая энергия возрастает.
Если
—
уменьшается (на этом пути действуют
силы сопротивления).
Уравнения (*, **) справедливы в инерциальных и неинерциальных системах отсчета. В последних необходимо в работу всех сил учитывать работу сил инерции.
4.8. Полная механическая энергия частицы.
Известно,
что приращение кинетической энергии
частицы при перемещении в силовом поле
равно элементарной работе всех сил,
действующих на частицу:
.
Если частица находится в стационарном
поле консервативных сил, то на нее кроме
консервативной силы
могут действовать и другие силы,
называемые сторонними
;
Тогда результирующая сила равна :
.
Работа всех этих сил идет на изменение кинетической энергии частицы:
Известно также, что работу консервативных сил поля можно записать как убыль потенциальной энергии частицы в этом поле.
,
значит
или
Т.о.
работа сторонних сил идёт на приращение
величины
.
Эту величину называют полной
механической энергией
частицы в поле:
.
Отсюда
видно, что
определяется с точностью до постоянной,
так как с точностью до постоянной
определяется
.
Теперь можно записать
(***)
т.е.,
приращение
полной механической энергии частицы
на некотором пути равно работе сторонних
сил, действующих на частицу на этом
пути; Если
,
то полная механическая энергия частицы
растёт. При
— уменьшается.
Пример: Для тела, падающего с обрыва, работа сторонних сил:
,
где
-
силы сопротивления.
4.9. Закон сохранения механической энергии частицы.
Из
выражения
следует, что в стационарном поле
консервативных сил полная механическая
энергия частицы может изменяться только
под действием сторонних сил, отсюда
вытекает закон сохранения механической
энергии частицы:
Если сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной.
;
Закон сохранения позволяет решать многие задачи, не привлекая уравнения движения, которые часто приводят к громоздким расчетам.