4.5. Потенциальная энергия частицы в силовом поле.

То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциальной энергии, называемой еще функцией состояния.

Возьмем стационарное поле консервативных сил, например электростатическое поле, в котором мы перемещаем частицу (заряд) из разных точек в некоторую фиксированную точку О (точку отсчета). Найдем работу сил поля. Поскольку она не зависит от пути, то остаётся зависимость её только от положения т. , поскольку положение т. О— фиксировано, т.е. зависит от пределов интегрирования. Это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиуса-вектора точки :

(*).

Функцию называют потенциальной энергией частицы в поле сил.

Теперь найдем работу при перемещении частицы из т.1 в т.2. Поскольку она не зависит от формы пути, то путь можно выбрать проходящим через т. О, тогда или с учетом (*) и обозначений:

; ;

(**)

Правая часть выражения представляет собой разность начального и конечного значений потенциальной энергии, т.е., убыль потенциальной энергии частицы.

По определению называют приращением, а убылью энергии. Т.о., работа сил поля на пути 1—2 равна убыли потенциальной энергии частицы на этом пути.

Из формулы (**) видно, что работа сил поля определяется лишь разностью энергий в двух точках, а не их абсолютными значениями, значит, частице в т. О можно приписать произвольное, наперед выбранное значение потенциальной энергии. Однако, как только зафиксирована потенциальная энергия частицы в одной, какой-либо точке, её значения во всех остальных точках поля определяются однозначно выражением (**).

Эта формула позволяет найти вид потенциальной энергии для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу совершаемую силами поля между двумя любыми точками и представить её в виде убыли некоторой функции расстояния, которая и есть потенциальная энергия. Так и было ранее сделано при вычислении работы гравитационной, упругой и силы тяжести. Видно, что потенциальная энергия частицы в данных полях имеет вид :

—в поле гравитационной, кулоновской силы.

— в поле упругой силы.

— в поле силы тяжести.

Отметим еще раз, что потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной величины, что несущественно, т.к. во всех формулах входит разность её значений в двух положениях частицы, поэтому постоянная выпадает, и её опускают.

Кроме этого важно заметить, что потенциальную энергию следует относить не к частице в поле, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тела, создающего силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия зависит только от положения частицы относительно этого тела.

4.6. Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.

Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий , т.к. он применим и к силам, для которых нельзя ввести понятие потенциальной энергии (силы трения, например). Второй способ применим к консервативным силам, для которых введено понятие потенциальной энергии. Он удобен тем, что между потенциальной энергией и силой со стороны поля существует определенная связь. Зная эту связь, можно по виду зависимости — функции положения частицы в поле, находить поле сил .

Найдем эту связь. Известно, что работа консервативных сил при перемещении частицы из одной точки поля в другую может быть представлена в виде убыли потенциальной энергии частицы . Это можно также записать и для элементарного перемещения .

, т.е.

Как видно из рисунка, ; — элементарный путь. Значит, ; Здесь величина есть убыль потенциальной энергии в направлении перемещения ; Отсюда:

т.е. проекция силы , действующей на частицу в данной точке поля, на направление перемещения равна убыли потенциальной энергии частицы в этом направлении. Символ указывает на то, что производная берется по определенному направлению.

Перемещение можно брать в любом направлении, например, вдоль осей координат . Если перемещение происходит вдоль оси то ; а , — проекция силы на орт (а не на перемещение , как в случае ). Тогда, относительно оси можно записать:

. Символ означает, что при дифференцировании должна рассматриваться как функция только одного аргумента , а остальные аргументы должны оставаться при этом постоянными. Для проекций силы на другие оси выражения будут аналогичными: ; .

Зная проекции можно найти и сам вектор или .

Выражение в скобках называется градиентом скалярной функции , и обозначается или .

— символический вектор или оператор Гамильтона. Действие этого оператора на скалярную функцию — формально можно рассматривать как произведение символического вектора на скаляр .

Таким образом, между силой со стороны поля и потенциальной энергией как функцией координат существует зависимость:

сила, действующая со стороны поля на частицу равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля. Эта формула позволяет, зная зависимость , найти вид зависимости .