Методы поиска опорного плана. Метод потенциалов.
Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90. Знаком "+" отмечают те вершины, в которых перевозки увеличиваются, а знаком "-" - вершины, в которых перевозки уменьшаются. Перемещение какого-то количества единиц груза по циклу означает увеличение перевозок на это количество единиц в положительных вершинах и уменьшение перевозок на это же количество единиц в отрицательных вершинах. При этом если перевозки остаются неотрицательными, план остается допустимым. Стоимость плана при этом может меняться.
Ценой цикла называется увеличение стоимости перевозок при перемещении единицы груза по этому циклу. Очевидно, цена цикла равна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах цикла, при этом стоимости в положительных вершинах берутся со знаком "+", а стоимости в отрицательных вершинах берутся со знаком "-".
Идея метода потенциалов состоит в следующем: для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует единственный цикл, положительная вершина которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные - в базисных клетках. Если цена такого цикла отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки). Если циклов с отрицательной ценой нет, то это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, т.е. оптимальный план найден.
Для нахождения циклов с отрицательной ценой вводится система
платежей
и определяются величины
называемые "псевдостоимостями" перевозок единицы груза из пункта i
в пункт j. При этом цена цикла пересчета для каждой свободной клетки
равна
если платежи
для всех базисных
клеток (i, j) .
Методы поиска опорного плана. Метод минимального тарифа (элемента).
На
каждом шаге метода
минимального элемента
из всех
не вычеркнутых
клеток транспортной матрицы выбирается
клетка с минимальной стоимостью перевозки
.
Заполнение выбранной клетки производится по правилам, описанным ниже.
Для
того чтобы заполнить
клетку (i,
j),
необходимо сравнить текущий запас
товара в рассматриваемой i-й
строке
с текущей потребностью в рассматриваемом
j-м
столбце
.
Если существующий запас позволяет перевезти всю потребность, то
в клетку (i,j) в качестве перевозки вписывается значение потребности ;
j-й столбец вычеркивается, поскольку его потребность уже исчерпана;
от существующего запаса в i-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежний запас зачеркивается, а вместо него записывается остаток, т.е.
.
Если существующий запас не позволяет перевезти всю потребность, то
в клетку (i,j) в качестве перевозки вписывается значение запаса ;
i-я строка вычеркивается, поскольку ее запас уже исчерпан;
от существующей потребности в j-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежняя потребность зачеркивается, а вместо нее записывается остаток, т.е.
.
Нахождение опорного плана продолжается до тех пор, пока не будут вычеркнуты все строки и столбцы.