1) Если , то плоскости совпадают;

2) Если , то плоскости параллельны;

3) Если или , то плоскости пересекаются и система уравнений

является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.

Различные способы задания прямых

К аноническое уравнение прямой

,

где (х₀; у₀; z₀) – точка прямой,

(k; l; m) – направляющий вектор.

Уравнение прямой в пространстве,

Проходящей через две данные точки

Прямая как пересечение двух плоскостей

,

где – направляющий вектор прямой,

и – векторы нормалей данных плоскостей.

№21.2

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

l₁: ; l₂:

и при этом

(!)

прямые параллельны и при этом различны

и при этом

(!)

прямые совпадают

– некомпланарные векторы, т.е.

прямые скрещиваются

– компланарные векторы, т.е.

и при этом

прямые пересекаются (!) – неколлинеарны, т.е.

нарушается одно из равенств:

№22

Обратная матрица - такая матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу E. Обратную матрицу можно найти только у квадратной матрицы, тоесть у матрицы, у которой число строк равняется числу столбцов.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Определение

Пусть — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

ноль, если A — нулевая матрица;

число , где Mr — минор матрицы A порядка r, а Mr + 1 — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда , если они существуют.

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть A — матрица размера над полем C (или R). Пусть T — линейное преобразование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T(x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

№23

Линейная независимость векторов

V- произвольные векторное пространство. Система векторов u₁……u_n пространства V линейно независима, если существуют такие числа α₁ u₁+ α₂ u₂+….+ α_nu_n=0 выполняется при α_i =0

Базис- множество таких векторов в векторном пространстве , что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества.

Размерность линейного пространства:

Х- n-мерное линейное пространство, если существует натуральное n такое, что х содержит линейно независимую систему из n векторов , а любая система из n+1 – зависима.

№24

Линейное (векторное) пространство — естественное обобщение обычного трёхмерного евклидова пространства; в нём определены две алгебраические операции: сложение элементов (векторов) и умножение элементов на число (скаляр), подчинённые семи аксиомам.

Определение

Пусть — поле вещественных или комплексных чисел (поле скаляров). Множество называется линейным (векторным) пространством над , если для каждых двух его элементов x и y определена их сумма и для любого элемента и числа определено произведение

причём эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.

Аксиомы линейного пространства

(x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

x + y = y + x (коммутативность сложения);

(λμ)x = λ(μx) (ассоциативность умножения);

(λ + μ)x = λx + μx (дистрибутивность);

λ(x + y) = λx + λy (дистрибутивность);

в существует такой элемент , что для любого (нулевой элемент);

(умножение на единицу);

Если в множестве введены операции сложения и умножения на число так, что превращено в линейное пространство, то говорят, что наделено линейной структурой. Линейное пространство над называется вещественным, а над — комплексным линейным пространством.

КРИТЕРИЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Для того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависма, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы линейно выражался через остальные векторы системы (мог быть представлен в виде разложения по векторам системы).

№25.1

Поверхности второго порядка

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.

Определение Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида.

Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

Эллипсоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно координатных осей,

плоскостной симметрией относительно начала координат.

В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Определение

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

Эллиптический параболоид обладает

осевой симметрией относительно оси Oz,

плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Определение

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Свойства гиперболического параболоида.

№25.2

Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

Гиперболический параболоид обладает

осевой симметрией относительно оси Oz,

плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.

В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.

Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

Определение

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Свойства однополостного гиперболоида.

Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

Однополостной гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,

плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Определение

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Свойства двуполостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и неограничен сверху.

Двуполостный гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,

плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

№25.3

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x2 = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x2 = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x2 – y2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x2 + y2 + z2 = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x2 + y2 = 1 – круговой цилиндр, уравнение x2 + y2 = z2 – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.