Тема 2. Высказывание.

1. Логика высказываний как наиболее простой и фундаментальный раздел формальной логики. Понятие высказывания. Логические значения высказывания. Высказывание, вопрос, повеление.

2. Высказывания простые и сложные. Логические союзы: конъюнкция, дизъюнкция слабая, дизъюнкция сильная, импликация, эквиваленция, отрицание. Выражение сложных высказываний в символической форме. Отношения между логическими формами высказываний. Отношения сравнимости и несравнимости. Отношения совместимости: следование, полная совместимость (равнозначность), частичная совместимость, сцепление. Отношения несовместимости: противоречие, противность.

3. Понятие закона в логике высказываний. Табличный способ селекции законов в логике высказываний. Простейшие законы логики высказываний: законы тождества, противоречия, исключенного третьего. Сокращенный способ селекции логических законов.

1. Логика высказываний как наиболее простой и фундаментальный раздел формальной логики. Понятие высказывания. Логические значения высказывания. Высказывание, вопрос, повеление.

Логическая теория, которая изучает связи между высказываниями, игнорируя их внутреннее строение, называется логикой высказываний или пропозициональной логикой. Это наиболее простая и в то же время фундаментальная часть формальной логики. В ней под высказыванием понимается языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинное оно или ложное.

Соответственно, истинность и ложность выступают логическими значениями высказывания.

Следует учитывать, что отдельные слова, когда они не являются представителями высказываний (например, как «Похолодало»), вопросы, просьбы и приказы высказываниями не являются.

2. Высказывания простые и сложные. Логические союзы: конъюнкция, дизъюнкция слабая, дизъюнкция сильная, импликация, эквиваленция, отрицание. Выражение сложных высказываний в символической форме.

Высказывания, и их логические формы, бывают простыми (атомарными) и сложными (молекулярными). Простые выказывания обычно обозначаются строчными буквами латинского алфавита: p, q, r, … Прописные буквы, A, B, C, D, могут использоваться как переменные любых высказываний, простых и сложных.

Сложные высказывания образуются при помощи особых функторов, или логических союзов, важнейшие из которых отрицание, конъюнкция, дизъюнкция слабая и сильная, импликация, эквиваленция. Сложное высказывание называют именем функтора, с помощью которого оно образовано.

Запишем определения этих высказываний и их выражения в символической форме:

Конъюнкция (логическое произведение) – это молекулярное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда все составляющие его высказывания (аргументы) истинны. Обозначается: A  B, читается: A и B. В разговорном языке конъюнкции соответствуют союзы «а», «но», «да», «хотя», «однако» и др.

Слабая (не исключающая) дизъюнкция – это сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда, по крайней мере, только один его аргумент истинен. (Логическое сложение). Обозначается: A  B, читается: «A или В»; «или» употребляется в не исключающем смысле.

Сильная (исключающая) дизъюнкция – это сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда только один его аргумент истинен. Обозначается: А  В, читается: «либо А, либо В».

Импликация – это молекулярное высказывание, ложное тогда и только тогда, антецедент истинен, а консеквент ложен. Антецедент или основание – это выражение перед оператором импликации, а консеквент – то, что идет после. Импликация обозначается как «А  В» и читается: « если А, то В», или «из А следует В».

Эквиваленция – молекулярное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба аргумента либо истины, либо ложны. То есть, когда их логические значения совпадают. Обозначается: А  В, читается: «А тогда и только тогда, когда В», «А, если и только если В».

Вот таблица истинности этих высказываний:

А	В	A  B	A  B	А  В	А  В	А  В
И	И	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	И	И	И	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

Отрицанием высказывания А называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Оно обозначается ¬А и читается: «не-А», «неверно, что А». Определение выражается с помощью следующей таблицы, где «И» обозначает «истинно», а «Л» – «ложно»:

А	¬А
И	Л
Л	И

Перечисленные операции применяются как для действий с простыми, так и со сложными высказываниями зная логические значения исходных высказываний, можно составлять таблицы истинности высказываний более сложной формы. Порядок выполнения операций, как в математических примерах, будет указываться скобками. Пр.: если я устал или хочу спать, то я не могу переводить этот текст. Это высказывание является импликацией, антецедент которой сложное высказывание – слабая дизъюнкция.

Соединяя высказывания при помощи союзов, мы может соединять ими же их логические формы.

3. Отношения между логическими формами высказываний. Отношения сравнимости и несравнимости. Отношения совместимости: следование, полная совместимость (равнозначность), частичная совместимость, сцепление. Отношения несовместимости: противоречие, противность.

При обсуждении практических и научных вопросов происходит сопоставление различных положений и мнений. Они сравниваются, сопоставляются, противопоставляются, и, таким образом, вступают между собой в различные логические отношения. Логические отношения между высказываниями устанавливаются через отношения логических форм, в которые эти высказывания воплощаются. Выделяются сравнимые и несравнимые формы.

Логические формы альфа и бета сравнимы, если и только если имеется хотя бы одна переменная, содержащаяся как в альфа, так и в бета. Пр.: формы высказываний A  B и С ¬В сравнимы, а A  B и С  D – нет. То есть:

Два высказывания сравнимы тогда и только тогда, когда имеется хотя бы одно простое высказывание, входящее в структуру как первого, так и второго высказывания.

Среди сравнимых логических форм различают совместимые и несовместимые.

Совместимость логических форм определяется наличием хотя бы одного случая, когда в них содержатся высказывания, являющиеся вместе истинными. Логические формы несовместимы при отсутствии такого случая. Пр.: формы высказываний A  B и A  B совместимы. Так, при подстановке вместо А и В порождаются истинные высказывания, которые вместе истинны. Это видно из таблицы:

А	В	A  B	A  B
И	И	И	И

Формы А  В и А  В несовместимы. При одинаковых значениях А и В они не имеют общего значения «истинно».

Совместимые формы находятся в отношениях: а) следования или подчинения, б) полной совместимости или равнозначности, в) частичной совместимости, г) сцепления.

Логические формы альфа и бета находятся в отношении следования или подчинения, т.е. из альфа следует бета, если и только если всегда, когда форма альфа преобразуется в истинное высказывание, форма бета при тех же значениях переменных также преобразуется в истинное высказывание.

Формы альфа и бета находятся в отношении полной совместимости или равнозначности, если и только если всегда, когда первой соответствует истинное высказывание, второй также соответствует истинное высказывание и наоборот. Т.е., при одинаковых значениях составляющих логические значения высказываний полностью совпадают. В отношении равнозначности также находятся высказывания следующих логических форм:

1	(A  B)	A  B
2	(A  B)	A  B
3	A  B	(A  B)(А  В)
4	А  В	В  А
5	А  В	(А  В)
6	(А  В)	А  В
7	А  В	А  В
8	А  В	(А  В)  (В  А)
9	( А  В)	А  В
10	А	А
11	А	А  (А  В)
12	А	(А  В)  (А  В)
13	А	(А  В)  (А  В)
14	(А  С)  (В  С)	(А  С)  (В  С)  (А  В)
15	(A  С)  (В  С)	(A  С)  (B  С)  (А  В)

Отношение равнозначности позволяет в процессе рассуждения без ущерба для смысла взаимозаменять высказывания различных форм, как во всех указанных случаях, устранять избыточную информацию, как в случаях 10, 13, выделять новые формы – 12, 15. Формулы, находящиеся в отношении полной совместимости, следуют друг от друга, т.е. находятся в отношении взаимоследования.

Логические формы альфа и бета находятся в отношении частичной совместимости, если и только если они соответствуют высказываниям, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

Несовместимые логические формы находятся в отношениях: а) противоречия, б) противоречивости.

Логические формы альфа и бета находятся в отношении противоречия, если и только если с их помощью порождаются высказывания, которые не могут быть вместе истинными, и не могут быть вместе ложными.

Логические формы альфа и бета находятся в отношении противности, если и только если им соответствуют высказывания, которые не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными.

Сравнимые логические формы альфа и бета находятся в отношении сцепления, если и только если истинность (ложность) высказываний формы альфа не исключает ложности (истинности) высказываний формы бета, и наоборот.

Установление отношений между логическими формами облегчает содержательный анализ, обеспечивает точность и определенность рассуждений.

4. Понятие закона в логике высказываний. Табличный способ селекции законов в логике высказываний. Простейшие законы логики высказываний: законы тождества, противоречия, исключенного третьего. Сокращенный способ селекции логических законов.

Законы логики характеризуют правильность построения логического мышления, процесс его протекания с точки зрения его определенности, последовательности, непротиворечивости обоснованности. Человеческая практика подтверждает адекватность логических связей общим связям и отношениям между вещами. Законы формальной логики связаны с истинностью мышления, но не напрямую, а опосредованно. Правильность мышления совместима как с его истинностью, так и с ложностью. Пр.: из ложных положений «все рыбы – млекопитающие» и «кит – рыба» следует истинное заключение «кит – млекопитающее».

Следует помнить, что из истинных посылок при соблюдении законов и правил логики невозможно получить ложное заключение – оно с необходимостью будет истинным.

Под законом логики понимают необходимую связь как между элементами мысли, так и между мыслями, выраженную в суждении, умозаключении. Эта связь выражается в схемах правильных форм, сложившихся в процессе много вековой практики мышления. Эти схемы выражаются в формулах, принимающих значение «И» при всех значениях входящих в них переменных. В логике высказываний эти формулы называют тождественно-истинными. Специфика законов логики высказываний в том, то в качестве переменных, входящих в структуру логических форм, выступают отдельные высказывания как целостные образования. При подстановке в логический закон любых переменных, полученное сложное высказывание всегда будет истинным.

Число тождественно-истинных формул неограниченно, поэтому количество законов в логике бесконечно.

Основными законами логики высказываний являются законы тождества, противоречия, исключенного третьего.

Закон тождества: всякая мысль в процессе рассуждения должна быть тождественна сама себе. Обозначается: А  А.

Закон противоречия (непротиворечия): два высказывания, которые отрицают друг друга, не могут быть вместе истинными, по крайней мере, одно из них ложно. Обозначается: (А А).

Закон исключенного третьего: два высказывания, которые отрицают друг друга, не могут быть одновременно ложными. Одно из них необходимо истинно, третье исключено. Этот закон действует в отношении противоречащих, или т.н. контрадикторных высказываний и обозначается: АА.

Когда высказывание выражается формулой с малым количеством переменных, удобно использовать табличный метод, поэтому применяются сокращенные методы селекции логических законов.

С сокращенным методом селекции логических законов можно ознакомиться на примере формы ((А  В)  (В  С)  А)  С. ход мысли здесь будет следующим:

1. допустим, эта форма не есть логический закон. Тогда при некоторой подстановке она будет ложным высказыванием.

2. Поскольку данная форма – импликация, она может оказаться ложным высказыванием только когда при некоторой подстановке ее антецедент будет истинным, а консеквент – ложным, т.е., когда ((А  В)  (В  С)  А) – истинно, а с – ложно.

3. Данный антецедент – конъюнкция, и чтобы он был истинным, необходимо, чтобы оба его члена были истинными, т.е., (А  В)  (В  С) и А должны быть истинны.

4. Поскольку (А  В)  (В  С) – конъюнкция, при ее истинности оба члена, А  В и В  С должны быть истинны.

5. А  В – истинная импликация; ее антецедент А истинен согласно п.3, В тоже будет истинным.

6. Поскольку В  С – истинная импликация, и в – истинно, то С тоже истинно.

7. Получается, что высказывание С одновременно должно быть и ложным, согласно п.2, и истинно, согласно п.6. это невозможно, так как по определению, всякое высказывание является либо истинным, либо ложным. Полученное противоречие – результат допущения в п.1, от которого придется отказаться и признать, что рассмотренная форма – логический закон.

Следует учитывать, что применение сокращенного метода требует хорошей ориентации в определениях основных логических союзов.