22. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши.

Признак Даламбера:

Пусть задан ряд и сущ , тогда

если l<1, ряд сх-ся

l>1, ряд расх-ся

l=1, ?

Признак Коши:

Пусть задан и сущ , тогда если

l<1, ряд сх-ся

l>1, ряд расх-ся

l=1, ?

1-й признак сравнения:

Пусть (1) и (2) с неотриц членами. Тогда если вып-ся нер-во начиная с некот n, то если ряд 2 сх-ся, то и ряд 1 сх-ся, а если ряд 1 расх-ся, то и ряд 2 расх-ся.

2-й признак сравнения:

Пусть заданы ряд (1) и (2), члены кот положит и сущ , 0<l<∞. Тогда эти ряды (1), (2) одновр-но сх-ся или расх-ся

23. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

называется знакочередующимся.

Достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующ.ряда:

Если предел , то ряд сходится.

О. если ряд, состоящий из абсолютных значений членов знакочередующегося ряда, сходится, то знакочеред.ряд сходится абсолютно. Если ряд, сост.из абсол.величин знакосеред.ряда, расходится, а исходный ряд сходится, то он сходится условно.

24. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

называется знакочередующимся.

Достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующ.ряда:

Если предел , то ряд сходится

ДУ 2 порядка, допускающие понижение порядка

1.y’’=f(x), y’=p,где p=p(x); y’’=p’;

p`=f(x); dp/dx=f(x) отсюда ;

2. y’’=f(x,y’), y’=p; p=p(x); y’’=p’

P’=f(x,p(x)); интегрируем,

подставляем y’, все аналогично отсюда ответ:

3. y’’=f(y,y’), y’=p; p=p(y) – сложная ф-я y

Y’’=p’y’=p’p; p’p=f(y,p) или (dp/dy)*p(y)=f(y,p(y)).

P заменяем на y’ получим

25. Понятие степенного ряда, область сходимости степенного ряда, теорема Абеля

o. Ряд вида

, где а0, а1, а2... называется степенным рядом по степеням x-x0. Если в ряде 1 положить x0=0, То получим …по степени x

o2. Число R>0 называется радиусом сходимости ряда 2, если для всех [x]<R ряд сходится, [x]>R ряд расходится

О2. Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости ряда 2

О3. Множество всех значений х, для которых ряд 2 сходится, область сходимости ряда.

Структуру области сходимости степенного ряда устанавливает теорема Абеля.

1) Если степенной ряд   a_nxⁿ сходится при x=x₀, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|

2) Если же ряд a_nxⁿ расходится при x=x_{1 ,} то он расходится при всех x , удовлетворяющих условию |x|>|x₁|

Область сходимости может иметь 1 из 4 видов:

(-R;R), [-R;R), (-R;R], [-R;R], где R—радиус сходимости, он находится по одной из формул:

-- формула Даламбера

-- формула Коши

Вычислив R, записываем интервал сходимости, если R≠∞, 0, то исследуем степенной ряд при x=-R, x=R

26. Ряды Тейлора и Маклорена

Ряд Тейлора по степеням (х-х0) F(x) x0≠0 называется разложение вида:

f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+ (f ’`(x₀) ( x - x₀)²)/2!+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! +…= ( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!

x0=0 в ряду Тейлора—ряд Маклорена

разложение ф-ции F(x)

в ряд Тейлора(Маклорена) осуществляется следующим образом:

1.находим общую формулу для n-ой производной данной ф-ции

2.вычисляем значения производных для ряда Тейлора или Маклорена

3.записываем разложение в ряд … по формулам

4.находим область сходимости полученных рядов с помощью формул Даламбера или Коши

27. диф-ние и интегр-ние степенных рядов

обл. сходимости (-R;R). тогда для хЭ(-R;R) ряд можно почленно диф-ровать

Также ряд 1 можно почленно интегрировать для всех хЭ(а;b)<(-R;R)