17. Линейные ду 1-го порядка

Уравнение вида ,

где p(x) и q(x) – заданные функции, назыв. линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Если в ур-нии 1 правая часть тождественно равна 0, то получим ур-ние вида (2) (однородное линейное ДУ 1-го порядка)

2—решают как ур-ние с раздел. переменными

1—решают с помощью подстановки:

,

(u’v+uv’)+p(x)uv=q(x)

u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)

Подставляем во 2-ое уравнение системы (b):

Общее решение уравнения :

18. Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэф.

Вид:

Методика решения:

Уравнение

Общее решение зависит от корней характеристического.

a) D<0, , тогда решение имеет вид:

b)D=0, =>

c) D<0, =>

ДУ вида y”+py’+qy=r(x) (*) назыв. Линейным ДУ второго порядка.Если p q –постоянные,то(*) назыв. уравнением с пост.коэфф. Общее решение состоит из у=у_общ +у*,где у_общ- общее решение однородной част иДУ (y”+py’+qy=0),у*-частное решение неоднородного ДУ( y”+py’+qy=r(x)) Вид частного реш. опр-ся по виду правой части.1. r(x)=Pn(x),где Pn(x) многочлен n-ой степ. от х. 1)у*=Qn(x), q 0.2)y*=xQn(x),q=0,p 0. 3)y*=x²Qn(x) p=0,q=0

2. r(x)=ae^kx a,k R : 1)y*=Ae^kx,если к не явл.корнем характер-го ур-ия 2)у*=Axe^kx,если к простой корень хар.ур-ния. 3)y*=Ax²e^kx если k кратный корень хар.ур-ния. 3. r(x)=a*cosmx+b*sinmx 1)y*= Acosmx+Bsinmx, p²+(q-m²)²≠0. 2)y*=x(Acosmx+Bsinmx) если p²+ (q-m²)²=0, p=0 q=m²

19. Понятие числового ряда и суммы ряда. Геометрическая прогрессия

О1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел а1, а2, …аn…(1), тогда выражение вида а1+а2+…+аn+…=∑аn (2) называется числовым рядом. аn –n-ый общий член ряда 2

О2.Для корректного опр-ния суммы бескон. Ряда восп-ся операцией предельного перехода. Частичная n-ая сумма ряда(1)назыв. Sn его n первых членов Sn=u₁+u₂+u₃+…+u_n (3). Образуем послед-ть из S₁,S₂….,Sn—последовательность частичных сумм. Если сущ. Конечн.предел S= Sn(3) то ряд (2)-СХОД. Если лимит не сущ или бескон. то ряд-РАСХ

Ряд вида - геом.прогрессия,ряд сход.если и его сумма S=b/1-q,если ряд расх. Ряд гармонический и он всегда расход

20. Свойства сходящихся рядов.Необходимый признак сход.ряда.

Свойства-1. Если ряд u₁+u₂+u₃+….u_n+…= (1) сход(расх.). И его сумма-S то сход(расх если с не равно 0) ,также и ряд и его сумма c*S.

2.Если ряд (1) и ряд их суммы S1 и S2 соответственно ,то сход и ряды и их суммы равны S1+S2.

3.Если к ряду (1) прибавить или отнять от него конечное число членов, то получим ряд и ряд (1) сход или расх одновременно. Ряд u_n+1+u_n+2+…= обознач. Rn-остаток ряда (1),если ряд (1) сход. то его остаток стрем. к 0 при n стрем. к бесконечн.( Rn=0).

Необход.признак сходимости- если ряд(1) сход. то общий член этого ряда стрем к 0 ( a_n=0) Док-во: u_n= (Sn-S_n-1)=0. Данный признак –не явл-ся достаточным(например гарм. ряд расх но u_n= 1/n стрем. к 0)

21. Интегральный признак сходимости ряда с положительными членами

Пусть задан ряд , члены кот положит и не возр-т, т.е. , а ф-я f(x) непрер, невозраст на [1;∞)

f(1)=a1, f(2)=a2…f(n)=an

Тогда если сх-ся, то и числовой ряд сходится и наоборот.