1.Ф-ция нескольк. Перем. Частн. Производные и полн. Диф-ал

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины Z, тогда говорят, что задана ф-я неск-ких переменных Переменные называют независимыми переменными, или аргументами. Z – зависимая переменная. Множество X – область определения. Наприм. Ax + By+Cz+D=0

В дальнейшем будем изучать функции 2 переменных. Большинство результатов, которые справедливы для функций 2 переменных, по аналогии переносятся на ф-ции многих переменных. Z=f(x,y)

Для функции 2 переменных обл. определения – либо вся координатная плоскость Оху, либо её часть.

В общем случае ф-ция 2 переменных представляет собой поверхность в 3-мерном пространстве.

а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы.

а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x₀,y₀)

z=f(x₀+x, y₀+y)-f(x₀,y₀) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

Zх=f(x₀+x, y)-f(x₀, y₀)

Zу=f(y₀+y, x)-f(x₀, y₀)

Частной производной ф-ции z=f(x,y) по переменной х назыв. Передел отношения частного приращения к приращению независимой переменной х при стремлении х к 0, если этот предел существует, т. Е.

z’_x = =

Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной.

Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х , у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const.

Для ф-и 2-х переем-х сущ 4 части произв-х 2 порядка:

Б) Пусть z = f(x,y), тогда

dz = - наз полным дифференциалом

Учитывая, что для ф-и f(x,y)=x, f(x,y)=y, df(x,y)=∆x=dx, df(x,y)=∆y=dy, полный диф-л можно записать в виде:

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

Применим полный дифференциал к приближенным вычислениям. При достаточно малых по абсолютной величине х и y, приращение функции fdf. f(хо+х,yo+y) f(xо,yо)+ f ‘x(xo,yo)x+ f ‘y(xo,yo)y

2. Экстремум ф-ции неск.Переменных. Необх.И дост.Условия экстремума ф-ции 2 перем.

Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Точка Ро назыв. точкой локального max. и min., если сущ. такая окр. этой точки, что для всех точек Р из этой окр. отсеченных от самой Ро выполняется неравенство: f(Po)>f(P) или f(Po)<f(P). Точки max. и min. назыв. экстремумы, а значение в этих точках – экстрем. функции.

Необходимость существования экстремума: Если f(x,y) в точке Po(xо,yо) имеет экстремум и в этой точке существуют конечные частные производные, то они равны 0. ∂f / ∆x(x₀,y₀)=0

∂f /∆y=(x₀,y₀)=0 (система). Экстремумы функции f(x,y) надо искать в точках, координаты которые удовлетворяют системе уравнений. Из этой системы ищем стационарные точки. Достаточные условия существования эксремума функции 2-х переменных: Пусть точка Pо(xo,yo) – стационарная точка функции f(x,y). Введем следующие обозначения: Af”_x(xo,yo), Bf”_xy(xo,yo), Cf”_y(xo,yo), AC-B².Тогда, если: 1. >0 и при этом А>0 (C>0), то в точке Pо – минимум, если >0 и при этом А<0 (C<0), то в точке Pо – максимум. 2. Если <0, то в точке Pо экстремума нет. 3. Если =0, то требуется дополнительные исследования для увеличения и установки экстремума.

Условный экстремум функции нескольких переменных.

Задача нахождения экстремума ф-ции Z=f(x,y) при условии, что g(x,y)=0 (уравн-ние связи)

Простейший алгоритм решения этой задачи:

Из ур-ния связи выражаем у через х и подставляют в исходную ф-цию.Полученная ф-ция—одной переменной. И находят экстремумы этой ф-ции.

б) Метод множителей Лагранжа

Строим функцию

-функция 3-х переменных

Находим частные производные:

Находим точки экстремумов

Далее - проверка достаточности условий для функции 3-х переменных, строим опред-ль 3-го порядка из вторых произв-х в т. .

Глобальный экстремум функции нескольких переменных.

Пусть z=f(x,y) – диф.-ема на огран. замкнутом мн-ве D, по т. Вейерштрасса, на этом мн-ве, f принимает свои наиб. и наим. знач.-я, кот. назыв. Глоб экстремумом f.

. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла

Интегралы вида J sinaxcosbxdx, J cosaxcosbxdx, Jsinaxsinbxdx, где a≠b, находятся с помощью формул:sinaxcosbxdx=1/2(sin(a-b)x+sin(a+b)x),cosaxcosbxdx=1/2(cos(a-b)x+cos(a+b)x), sinaxsinbxdx=1/2(cos(a-b)x-cos(a+b)x). Интегралы вида J R(sinx,cosx)dx, где R - рациональная функция, приводятся к интегрированию рациональных функций с помощью подстановки tgx/2=t, так как J R(sinxcosx)dx=2J R(2t/(1+t²),(1-t²)/(1+t²)) dt/(1+t²). Данная подстановка, являющаяся универсальной для интегралов этого типа, приводит иной раз к сложным выкладкам. В таких случаях используются более простые подстановки. Если выполнено рав-во R(-sinx,cosx)= - R(sinx,cosx) или R(sinx, - cosx)= - R(sinx,cosx), то применяют подстановку cosx=t либо sinx=t. Если выполнено рав-во R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx), то интеграл приводят интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки tgx=t, т.к. в этом случае R(sinx,cosx)=R(tgx), dx=dt/(1+t²)

3.М-д наим квадр-в. Выравн-е эмпирич данных по прямой

На практике часто приходится решать задачи сглаживанию эксперимент данных.

Пусть сущ завис-ть для 2-х переем-х, выраженная с пом таблицы, получ экспериментально

X … …

Y … …

Требуется наилуч образом сгладить эксперимент завис-ть м/д переем-ми х и у, т.е. установить зав-ть м/д х и у в виде формулы y = f(x).

О. Формулы, служ для аналитич представлений эксперимент данных, называются эмпирическими.

Задача нах-я эмпирич формул разбивается на 2 этапа.

I этап

Устанавливается вид зависимости y = f(x) (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.).

II этап

Опред-ся неизв пар-ры этой ф-ии. Для этого применяют наиболее распр и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов.

Он состоит в следующем:

В кач-ве неизв пар-ра ф-и f(x) выб-т такие знач-я, чтобы суммы кв-тов невязок ( ) была мин. Невязка ( ) – это –откл-е от «теоретич» знач-й , найд по эмпирич формулам y = f(x) от соответствующих опытных знач-й .

Рассм-м функцию

(т.е. сумму квадратов всех невязок)

Пусть в кач-ве ф-и у = f(x) взята лин ф-я у = ax + b. Тогда задание сводится к отыскиванию пар-ов a и b, при кот ф-я принимает наим зн-е. Очевидно, что S = S(a,b) есть ф-я 2-х переем-х a и b, а и - пост числа, полученные экспериментально.

Т. о., достаточно исслед-ть ф-ю S = S(a,b) на экстремумы.

Находим частные производные

или

После преобразований, система принимает вид:

(**) Система (**) - система норм уравнений

т.к квадрат ∑ >∑-мы квадратов

Ф-я S = S(a,b) достигает своего min при a и b, найд из сист (**). Для этого проверим достаточные условия экстремума:

функция достигает min (глобальный min).

4. Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.

Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a;b). Если функция F(x) имеет производную на интервале (a;b) и для всех x € (a;b) выполняется равенство F’(x) = f(x), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b).

Т.: Если F(x) первооб-я ф-и f(x), то F(x)+С тоже пер-я.

О. Мн-во всех перв-х ф-й F(x)+С для данной ф-и f(x) наз. неопред интегр ф-и f(x) обозн-ся

С в-ва НИ:

8. Определение и задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Пусть ф. у = f(х) опр-на на отр. [а; b]. Разобьем отрезок [а; b] на n произвольн. частей точками а = x₀<x₁<x₂<…<x_n = b. Точки x_0, x₁, x₂,…,x_n наз-ся т-ми разбиения. В каждом из полученных частичн. отр-в [x_i-1; x_i] выберем произв. образом точку ξ, x_i-1 ≤ ξ ≤ x_i. Длину частичн. отр. обозначим ∆x_i = x_i - x_i-1. Сост-м сумму (1): σ = f(ξ₁) ∆x₁ + f(ξ₂) ∆x₂ +…+f(ξ_n) ∆x_n = . Сумма «сигма» назыв-ся интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b] соотв-щей данному разбиению отрезка [a, b] на частичн. отр-ки и данному выбору точек ξ_i.Обозначим через λ длину наибольшего отрезка разбиения.

Опр-е: Если сущ-ет конечный независящий от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки и от выбора точек ξi соответствующих частичных отрезков [xi-1; xi] предел интегральной суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на пром-ке от a до b и обозн- ся

(2)В этом случае ф-ция называется интегрируемой на отрезке [a, b], a – нижний предел