39. Достаточное условие возрастания (убывания) ф-й.

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале , если для любых x₁ и x₂ из этого интервала, для которых x₁<x₂, верно неравенство .

Функция y=f(x) называется убывающей на интервале , если для любых x₁ и x₂ из этого интервала, для которых , верно неравенство .

Необходимое условие возрастания функции. Если функция y=f(x) дифференцируема и возрастает на интервале , то для всех x из этого интервала.

Необходимое условие убывания функции. Если функция y=f(x) дифференцируема и убывает на интервале (a,b) , то для всех x из этого интервала.

Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a,b) . Если во всех точках этого интервала , то функция возрастает на этом интервале, а если , то функция убывает на этом интервале.

40. Экстремумы ф-й.

Точка x = x₀ называется точкой максимума, а число — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x₀ , не совпадающих с x₀ , выполняется неравенство .

Точка x = x₀ называется точкой минимума, а число — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x₀ , не совпадающих с точкой x₀ , выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума

Если x₀ — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

Достаточное условие существования экстремума

Если функция y=f(x) непрерывна в точке x = x₀ , дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x₀ производная меняет знак, то x = x₀ — точка:

а) — максимум, если , при

и , при /

б) — минимум, если , при

и , при .

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной:

Находится область определения функции.

Находится производная.

Определяются критические точки.

Выбираются из критических точек те точки, которые принадлежат отрезку.

Считаются значения функции в критических точках принадлежащих отрезку и на концах отрезка.

Среди полученных значений функции выбираются самое большое и самое маленькое.

41. Выпуклость ф-и вверх (вниз). Необх и дост усл-я перегиба ф-и.

Если график функции имеет касательную в точке x = x₀ , и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x₀ ; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.

График y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b) , если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.

Необходимое условие точки перегиба. Если x = x₀ — точка перегиба графика функции y-f(x), то или не существует

Достаточные условия точки перегиба. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку меняет знак, то x₀ — точка перегиба графика функции y=f(x).

42. Асимптоты графика функции.

Асимптотой данной кривой называется такая прямая, при которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю, при неограниченном удалении точки на кривой от начала координат. Прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой, если выполнено хотя бы одно из условий ; .

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если .

Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если .

Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

43. Общая схема исследования ф-и и построения графика.

Если требуется построить график функции y=f(x), то надо предварительно исследовать эту функцию:

1.найти область определения D(f)

2) найти точки разрыва, вертикальные асимптоты;

3) найти асимптоты;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) определить четность или нечетность , т.е. является ли график этой функции симметричным относительно оси ординат, или начала координат, или же такой симметрии нет;

6) найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания;

7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. На основании этого исследования строится график функции.

44. Дифференциал ф-и, его геометр смысл. Применение.

Дифф-лом ф-ции называется произведение производной этой ф-ции на приращение аргумента :

Дифф-л аргумента равен приращению аргумента: , поэтому дифф-л ф-ции равен произведению ее производной на дифф-л аргумента: .

Геом. смысл дифф-ла: Т.е. дифф-л ф-ции приближенно равен приращению ф-ции и пропорционален приращению аргумента .

F(x₀+ _{)=f(x0)+ .}

_{45. Определение ф-и нескольких переменных. Частные производных и полный дифференциал ф-и нескольких перем}

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины Z, тогда говорят, что задана ф-я неск-ких переменных Переменные называют независимыми переменными, или аргументами. Z – зависимая переменная, символ f означает закон соответствия, а множество Х – область определения ф-ции.

а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x₀,y₀)

Dz=f(x₀+Dx, y₀+Dy)-f(x₀,y₀) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

DxZ=f(x₀+Dx, y)-f(x₀, y₀)

DyZ=f(y₀+Dy, x)-f(x₀, y₀)

Частная производная ф-ция: б) dxZ=Z_x`*Dx=¶Z/¶x*dx; dxZ=Z<sub>y</sub>`*Dy=¶Z/¶y*dy

Полный дифференциал dZ=d_xZ+d_yZ=Z`<sub>x</sub>dx +Z`_ydy

dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

46. Экстремумы функций нескольких переменных. Необход и лост усл-е экстремума. Ф-и 2-х перем.

Z=f(x,y), M₀(x₀,y₀), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x₁,x₂,...x_n), то ¶Z/¶x_i=0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

_AC-B²

где A= Z``<sub>XX</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>), C= Z``_yy(x₀,y₀), B= Z``_yx (x₀,y₀),

1) если D>0, то М₀ - точка экстремума;

если А<0 или С<0, то М₀ - точка max;

если А>0 или С>0, то М₀ - точка min.

2) если D<0, то экстремума нет

3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.