24. Финитное преобразование Фурье

______________________СМ. ПУНКТ 23__________________________

На практике анализируемый сигнал задается на интервале конечной длины ; обозначим этот интервал через . Преобразование Фурье ограниченной реализации имеет вид . (5.7)

Преобразование, определяемое формулой (5.7) называется финитным преобразованием Фурье.

Чтобы получить периодическую функцию времени с периодом , положим, что реализация непрерывно повторяется. Разлагая такую функцию в ряд Фурье, находим , (5.8)

где все частоты кратны основной частоте . Следовательно, приращение частоты между последовательными значениями и равно . Коэффициенты ряда (5.8) находятся по формулам

. (5.9) Из формулы (5.7) следует, что

. (5.10)

Таким образом, величина определяет значения коэффициентов и, следовательно, ординаты при всех t. Это справедливо при условии, что функция периодична с периодом . Очевидно, значения  это значения финитного преобразования Фурье, определенные для частот

,

25. Дискретное преобразование Фурье (дпф).

Предположим, что непрерывная реализация представлена N эквидистантными значениями с интервалом дискретизации . Поскольку при рассмотрении финитного преобразования Фурье мы задавали интервал определения как , моменты удобно индексировать, начиная с . Тогда последовательность отсчетов запишется в виде

, .

Дискретная аппроксимация интеграла (по методу прямоугольников) в формуле при произвольном значении f есть

. (5.11)

Для расчета спектра выбираем дискретные значения частоты

, . (5.12)

Формула (5.11) дает на этих частотах следующие составляющие Фурье

, , (5.13)

причем интервал внесен в значение , чтобы избавиться от множителя перед знаком суммы. Подставив в соотношение (5.13) выражение для из (4.12), получим формулу для дискретного преобразования Фурье

, . (5.14)

Внимание, это важно! Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) применяется для оценивания спектра, задаваемого соотношением (5.1). Частоты, определяемые соотношением (5.12), (точки на оси частот) называются опорными частотами ДПФ, а промежутки (интервалы частотной оси) между последовательными частотами ДПФ – бинами ДПФ. Формула (4.14) часто записывается в виде

,

где ДПФ{}  оператор ДПФ.

26. Свойства дпф.

1. Последовательность периодически повторяется через N значений:

, где . (5.15)

2. ДПФ действительных временных рядов обладает свойством комплексной симметрии, которое записывается в виде

, .

Учитывая (5.15), последнее соотношение можно представить как

, , (5.16)

другими словами, частоты выше можно рассматривать (теоретически) как отрицательные.

3. Значение для действительных последовательностей равно

, (5.17)

, (5.18)

где  выборочное среднее величин .

4. Свойство линейности ДПФ формулируется аналогично (5.5), т. е.

,

где a и b  постоянные коэффициенты, и  два разных сигнала одинаковой длины.

.(5.5)