33.Плоскость. Основные понятия.

Простейш.повер-тью явл.плоскость. Плоск.в простран.Охуz можно задать люб.способами. Уравн. А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0 называет. уравн.плоскости,проходящую через данную точку М0(х0;у0;z0) перпендикул. вектору =(A;В;С). Вектор =(A;В;С) наз.нормальн. вектором плоск. Уравн. Ах+Ву+Сz+D=0 наз. общее уравн. плоск. Уравн. наз.уравн.плоск.в отрезках на осях. Им удобно польз.при построен.плоск. Уравнение , называет. нормаль.уравн.плоск. в координат.форме.

34.Нормальное уравн. Плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

Уравн. называется нормальным уравнен. плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов и , уравн. перепиш. в виде ,кот. назыв. нормальным уравнением плоскости в координатной форме. Под углом между плоскостями Q₁ и Q₂ понимается один из двугран.углов,образов.этими плоскостями. Равенство А₁А₂+В1В₂+С1С₂=0 есть условие перпендикулярн.2-х плоскостей Q₁ и Q₂. Уравн. есть условие параллельн. 2-х плоскостей Q₁ и Q₂.

35. Линии второго порядка. Окружность.

Линии, определяемые уравнением Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, наз. линями 2-го порядка. Коэффиц. уравнения - действ. числа. Окружностью радиуса R с центром в (·) M₀ наз. множест. всех точек М плоскости, удовлетв. условию М₀М=R. Из этого условия можно получить уравн. (x-x₀)²+(y-y₀)²=R², если М₀ имеет координаты х₀,у₀, а М (х;у) – произв.точка. Это уравнение называется каноническим уравнением окружности. И после сложных преобразований примет вид х²+у²-2х₀х-2у₀у+х₀²+у₀²-R²=0.

36. Линии, определяемые уравнением Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, наз. линями 2-го порядка. Коэффиц. уравнения - действ. числа. Эллипсом называет. множ. всех точек плоскости, сумма расстоян.от каждой из которых до 2-х данных точек этой плоскости, называются фокусами, есть велич.постоян.,больш.,чем расстояние между фокус. Уравнение эллипса имеет вид + =2a. После преобразования (a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²). Т.к. a>c, то a²-c²>0. Положим а²-с²=b². Тогда уравнение примет вид , кот. назыв. каноническим уравнением эллипса. Отнош. половины расстоян. между фокус. к больш. полуоси назыв.эксцентриситетом эллипса и обознач. ε («эпсилон»): . Прямые наз. директрисами эллипса.

37. Линии второго порядка. Гипербола.

Линии, определяемые уравнением Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, наз. линями 2-го порядка. Коэффиц. уравнения - действ. числа. Гиперболой наз.множество всех точек плоск. модуль разн.расст.от кажд.из кот.до 2-х данных точек этой плоск.,наз. фокусами, есть велич. пост., меньшая, чем расст. между фокусами. Если М(х;у) – произв.(·) гиперб. Тогда согласн.оперд.гиперб.|MF1-MF2|=2a или MF1-MF2=±2a, т.е. - =±2a. После упрощений, получим каноническ. уравнение гиперболы , где b²=c²-a². Гипербола назыв. равностор.,если её полуоси равны (a=b).

38. Линии второго порядка. Парабола.

Линии, определяемые уравнением Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, наз. линями 2-го порядка. Коэффиц. уравнения - действ. числа. Параболой назыв. множ. всех точек плоск.,кажд. из кот. одинаково удалена от дан.точки, наз. фокусом, и данной прям., наз. директрисой. Расст. от фоку.F до директ. наз. параметром параболы и обознач. через p (p>0). Уравнение у²=2рх называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.

39. Общее уравн.2-го пор. с двумя неизвестн.: Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0. Оно отличается от уравнения Ax²+Cy²+2Dx+2Ey+F=0 наличием члена с произв.координ. (В≠0). Можно,путём поворота координ.осей на угол а,преобраз. это уравн.,чтобы в нем член с произв.коорд. отсутствовал. Выберем угол а так,чтобы коэфффиц.при x'·y' обратился в 0,т.е.выполн. равенство 2Bcos2a=(A-C)sin2a. Отсюда tg2a=2B/A-C. Вывод: ОУВП определяет на плоскости следующ. кривые: окруж., эллипс, гиперболу,параболу. УравКр2-гоП. Найдём сначала уравн. эллипса с центр. в (·)O₁(x₀;y₀), оси симметрии кот. || кордин. осям Ox и Oy и полуоси соотв.=а и b.Помести в центр.эллип. O₁ нач.нов.сис-мы корд. O₁x'y',оси кот. O₁x' и O₁y' || соотв.осям Ox и Oy и одинак.с ними направлены. В этой сис-ме коорд.уравн. эллип.им.вид: x'²/a²+y'²/b²=1. Т.к. x'=x-x₀, y'=x-y₀,то урав.эллип.(x-x₀)²/a²+(y-y₀)²/b²=1. Аналогич.рассужд.,получ.уравн.гиперболы с центром в (·)O₁(x₀;y₀) и полуосями a и b (x-x₀)²/a²-(y-y₀)²/b²=1.

40. Поверхность, образованная движ.прямой L,кот.перемещ. в пространстве, сохраняя постоян. направл. и пересек. каждый раз некот. кривую K,назыв. цилиндрич.поверх-тью или цилиндром. Кривая К наз.направляющей цилин., а прям. L – его образующей.Теорема: уравн.цилин., образующие кот.параллел.оси Oz,имеет вид F(x;y)=0, т.е. не содерж. координ. z.Если направляющ.служит эллипс x²/a²+y²/b²=1 в плоск. Oxy, то соответст.цилин.пов-ть назыв. эллиптич. цилиндром. Частным случ.эллип. цилиндра явл. круговой цилиндр, его уравн. x²+y²=R². Уравн. x²=2pz опред. в простран. параболич.цилиндр. Уравн. x²/a² - y²/b²=1 опред. в простран. гиперболич. цилиндр. Все эти пов-ти наз. цилиндрами 2-го порядка.

41. Поверхность, образованная вращением некотор.плоской кривой вокруг оси, лежащ. в её плоск. назыв. поверхностью вращения. Например, вращая прямую y=z вокруг оси Oz,получим пов-ть вращения, уравн. кот. x²+y²=z². Поверх-ть, образов.прямыми линями,проходящ.через некотор.(.) Р и пересек.некотор.плоскую линию L(не проход.через Р),наз.конической пов-стью или конусом. При этом линия L назыв.направляющей конуса, (.) Р – её вершиной, а прямая, описыв. пов-ть, назыв. образующей.

42. Канонически. уравн.2-го пор.Эллипсоид. По заданному уравн.пов-ти 2-го пор.опред.её геометрич. вид. Для этого примен. так назыв. метод сечений: исследование вида повер-ти, производ. при помощи изуч. линий пересеч. данной пов-ти с координатн. плоскостями. Повер-ть, заданная уравнени. наз. эллипсоидом. Величины a,b,c наз. полуосями эллипс. Если все они различны, то эллипс. наз. трехосным; если какие-либо 2 полуоси равны, трёхосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если a=b=c,то – в сферу x²+y²+z²=a².

43. По заданному уравнению пов-ти 2-го пор.опред.её геометрич. вид. Для этого примен. так назыв. метод сечений: исследование вида повер-ти, производ. при помощи изуч. линий пересеч. данной пов-ти с координатн. плоскостями. Пов-ть, определ. уравнением , имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Пов-ть называется однополостным гипербол. Пересекая эту пов-ть плоскостью z=h, получим линию пересеч., уравнение кот. имеет вид . Пов-ть, определ. уравн. , состоящую из 2-х полостей, имеющ. форму выпукл. неогранич. чаш, наз. двухполостным гиперболоидом.

44. При пересечении пов-ти, заданную уравнением , координат. плоскост. Оxz и Oyz получ.соотв.параболы и . Таким образом, пов-ть, определ. уравн., имеет вид выпукл., бесконеч. расшир.чаши.,называемая эллиптическим параболоидом. Линия сечения: . Повер-ть опред.уравн. , наз. гиперболическ. параболоид. Рассек.пов-ть плоскостями z=h, получим кривую . Пов-ть, опред. уравн. ,наз.конусом 2-го порядка. Рассекая плоск. Oyz (x=0), получится линия . Плоскостью y=0: .