Пример 2

x(t)=a₀+a₁*t - инвариантна

t	(t)	(t)	t	x(t)	(t)
1	1	1,43	9	1	1,43
2	3	3,14	10	3	3,14
3	5	4, 86	11	5	4, 86
4	7	6,57	12	7	6,57
5	9	8,29	13	9	8,29
6	10	10,00	14	10	10,00
7	11	11,71	15	11	11,71
11	46	18,57	19	46	18,57

Решение:

Задача решается в отношении неизвестных a₀ и a₁ .

а) метод наименьших квадратов

min ∑⁷_t=1 [a₀ + a₁t – x(t)]²

сумма квадратичных отклонений (мера близости временного ряда)

Обозначим ∑⁷_t=1 [a₀ + a₁t – x(t)]²=f(a₀, a₁)

Тогда уравнения в нормальной форме будут иметь вид:

∂ F/∂a₀ = 2 ∑⁷_t=1[a₀ + a₁t – x(t)] 1 = 0

∂F/∂a₁ = 2 ∑⁷_t=1 [a₀ + a₁t – x(t)] t = 0

Уравнения в каноническом вида:

( ∑⁷_t=11) a₀ + (∑⁷_t=1 t) a₁ = ∑⁷_t=1 x(t)

(∑⁷_t=1t) a₀ + (∑⁷_t=1 t) a₁ = ∑⁷_t=1 x(t) t

Уравнения в каноническом виде:

7 a₀ + 28 a₁ = 46

28 a₀ + 140 a₁ = 232

Решая систему методом Крамера, получим:

7 28

∆ = = 196

28 140

46 28

∆₀ = = -56

232 140

7 46

∆₁ = = 336

28 232

a₀ = ∆₀ / ∆ = 0,286

a₁ = ∆₁ / ∆ = 1,714

Таким образом, = 0,286 + 1,714t , для t=1,2,3,4,5,6,7,11

б) Проводим аналогичные рассуждения для t=9,10,11,12,13,14,15,19

Уравнения в каноническом виде:

7 a₀ + 84 a₁ = 46

84 a₀ + 1036 a₁ = 600

Решая систему методом Крамера, получим:

7 84

∆ = = 196

84 1036

46 28

∆₀ = = -2744

600 1036

7 46

∆₁ = = 336

28 232

a₀ = ∆₀ / ∆ = -14

a₁ = ∆₁ / ∆ = 1,714

Таким образом, = -14 + 1,714t , t = 9,10,11,12,13,14,15,19

Вывод: только во втором примере результаты остались прежними при вычислении на другом интервале времени, то есть примеры наглядно демонстрируют, что неинвариантные по сдвигу аргумента функции приводят к разным результатам в зависимости от выбранного начала отчета.

Метод компромисса «точность-надежность» в анализе экономических временных рядов.

Имеется исходный временной ряд X(t), t=1…N

Необходимо построить наиболее точную и надежную функцию регрессии выбранного вида:

X_t=a₀+a₁t+….+a_lt^l+ δ_t

То есть нужно a_i и l.

В качестве аппроксимирующих функций рассматриваются только функции определенного вида (степенные полиномы). Временной ряд разбивается на полином и невязки и невязки:

X(t)=P_l(t)+ δ_l(t)

Критерий компромисса «точность-надежность»:

В качестве наилучшей по компромиссу «точность-надежность» в экономической линейной полиномиальной модели мы выбираем наиболее точную из допустимых по надежности оценок старших коэффициентов полинома.

Пример

Пусть имеется временной ряд капитальных вложений: x(t)

Построить наилучшую регрессионную модель для ряда инвестиций.

t	x(t)	P1(t)	δ1(t)	P2(t)	δ2(t)	P3(t)	δ3(t)
1	10,8	6,91	3,89	10,324	0,476	9,829	0,971
2	12,1	9,56	2,54	11,897	0,203	11,714	0,386
3	12,7	12,21	0,49	13,589	-0,889	13,632	-0,932
4	15	14,86	0,14	15,401	-0,401	15,593	-0,593
5	16,5	17,51	-1,01	17,332	-0,832	17,607	-1,107
6	19,1	20,16	-1,06	19,383	-0,283	19,685	-0,585
7	21,6	22,81	-1,21	21,554	0,046	21,837	-0,237
8	24,5	25,46	-0,96	23,845	0,655	24,072	0,428
9	27,4	28,11	-0,71	26,255	1,145	26,402	0,998
10	30,8	30,76	0,04	28,785	2,015	28,836	1,964
11	31,9	33,41	-1,51	31,435	0,465	31,384	0,516
12	34	36,06	-2,06	34,204	-0,204	34,058	-0,058
13	36,1	38,71	-2,61	37,093	-0,993	36,866	-0,766
14	39,4	41,36	-1,96	40,102	-0,702	39,820	-0,420
15	42,7	44,01	-1,31	43,231	-0,531	42,929	-0,229
16	45,8	46,66	-0,86	46,479	-0,679	46,204	-0,404
17	49,4	49,31	0,09	49,847	-0,447	49,654	-0,254
18	53,6	51,96	1,64	53,334	0,266	53,291	0,309
19	55,8	54,61	1,19	56,942	-1,142	57,124	-1,324
20	62,5	57,26	5,24	60,669	1,831	61,163	1,337

1. min ∑ ²⁰_t=1[a₀ + a₁ t – x(t)]²

( ∑²⁰_t=11) a₀ + (∑²⁰ _t=1t) a₁ = ∑²⁰ _t=1x(t)

(∑²⁰_t=1t) a₀ + (∑²⁰ _t=1t²) a₁ = ∑²⁰ _t=1x(t) t

20 a₀ + 210 a₁ = 641,7

210 a₀ + 2870 a₁ = 8499,9

Решаем это уравнение методом Крамера,

20 210

∆ = = 13300

210 2870

641,7 210

∆₀ = = 56700

8499,9 2870

20 641,7

∆₁ = = 35241

210 8499,9

a₀ = ∆₀ / ∆ = 4,263

a₁ = ∆₁ / ∆ = 2,65

Таким образом:

P₁(t) = 4,26 + 2,65 t , t = 1,20

δ₁(t) = x(t) - P₁(t) – невязка (разница между теоретическими и эксп. данными)

S²(1) = (∑ δ₁²(t)) / N = 78,083 / 20 = 3,90 – показатель точности приближения (средний квадрат ошибки модели)

Приводим исследование невязок на степень соответствия их свойств свойствам белого шума.

А) Динамика невязок

Число пересечений с осью времени мало. Таким образом, динамика невязок не дает оснований рассматривать невязки как практическую реализацию белого шума.

Б) Поле автокорреляции при l=1

В поле автокорреляции наблюдается тренд, что дает основания полагать, что автокорреляция есть. Следовательно, нельзя рассматривать ряд невязок как реализацию белого шума.

В) Численное значение автокорреляции:

∑δ₁(t-1) δ₁(t) 40,714

r₁(l) = = = 0,72 – высокая автокорреляция

√∑ δ₁²(t-1)∑ δ₁²(t) √50,625 * 62,951

Ошибка не белый шум, теоремой Гаусса – Маркова воспользоваться нельзя.

2. при l=2

min ∑ [a₀ + a₁ t + a₂t²– x(t)]²

∂ F/∂a₀ = 2 ∑ [a₀ + a₁ t + a₂t² – x(t)] * 1 = 0

∂F/∂a₁ = 2 ∑ [a₀ + a₁ t + a₂t² – x(t)] * t = 0

∂F/∂a₂ = 2 ∑ [a₀ + a₁ t + a₂t² – x(t)] * t² = 0

( ∑1) a₀ + (∑t) a₁ + (∑t²) a₂ = ∑x(t)

(∑t) a₀ + (∑t²) a₁ +(∑t³) a₂ = ∑x(t) t

(∑t²) a₀ + (∑t³) a₁ +(∑t⁴) a₂ = ∑x(t) t²

20 a₀ + 210 a₁ + 2870 a₂ = 641,7

210 a₀ + 2870 a₁ + 44100 a₂ = 8499,9

2870 a₀ + 44100 a₁ + 722666 a₂ = 130137,7

Решаем систему методом Крамера

20 210 2870

∆ = 210 2870 44100 = 233494800

2870 44100 722666

641,7 210 2870

∆₀ = 8499,9 2870 44100 = 2071447070

130137,7 44100 722666

20 641,7 2870

∆₁ = 210 8499,9 44100 = 325230486

2870 130137,7 722666

20 210 641,7

∆₂ = 210 2870 8499,9 = 13974310

2870 44100 130137,7

a₀ = ∆₀ / ∆ = 8,871

a₁ = ∆₁ / ∆ = 1,393

a₂ = ∆₂ / ∆ = 0,060

тогда полином будет иметь вид:

P₂(t) = 8,871 + 1,393 t + 0,060 t² , t = 1,20

Тогда точность:

S²(2) = (∑ δ₂²(t)) / N = 15,200 / 20 = 0,76 – точность повысилась

Исследование невязок (на наличие белого шума)

А) Динамика невязок

Число пересечений с осью времени возросло. Тренд уже не наблюдается.

Б) Поле автокорреляции

В поле автокорреляции тренд наблюдается слабо.

В) Численное значение автокорреляции:

∑δ₂(t-1) δ₂(t) 4,18

r₂(l) = = = 0,31

√∑ δ₂²(t-1)∑ δ₂²(t) √ 11,85 * 14,97

очень близко к ограничению для белого шума

Проверим данную модель на надежность:

σ² (a₂₂) = a²²(2) σ² _δ (2) – дисперсия оценки коэф-та

a²²(2) = 0,5696 * 10^-4 – табличное значение диаг элемента обратной матрицы, соответствующей системе норм уравнений. Это значение табличное, т.к aⁱⁱ(l) не зависит от временного ряда, а зависит от степени полинома l и N.

σ² _δ (2) = N * S²(l) / N-l-1 = 20 * 0,76 / 17 = 0,8941 – дисперсия невязок

σ (a₂₂) = √0,5696 * 10^-4 * 0,8941 = 0,7137 * 10^-2

B₂ (2) = σ (a₂₂) / ׀a₂₂ ׀= 0,119 < 0,3 – высокая надежность

Модель l=2 является первым претендентом на лучшую

3. При l=3

min ∑ [a₀ + a₁ t + a₂t² + a₃t³– x(t)]²

∂ F/∂a₀ = 2 ∑ [a₀ + a₁ t + a₂t² + a₃t³– x(t)] * 1 = 0

∂F/∂a₁ = 2 ∑ [a₀ + a₁ t + a₂t² + a₃t³– x(t)] * t = 0

∂F/∂a₂ = 2 ∑ [a₀ + a₁ t + a₂t² + a₃t³– x(t)] * t² = 0

∂F/∂a₃ = 2 ∑ [a₀ + a₁ t + a₂t² + a₃t³– x(t)] * t³ = 0

( ∑1) a₀ + (∑t) a₁ + (∑t²) a₂ +(∑t³) a₃ = ∑x(t)

(∑t) a₀ + (∑t²) a₁ +(∑t³) a₂ +(∑t⁴) a₃ = ∑x(t) t

(∑t²) a₀ + (∑t³) a₁ +(∑t⁴) a₂ +(∑t⁵) a₃ = ∑x(t) t²

(∑t³) a₀ + (∑t⁴) a₁ +(∑t⁵) a₂ +(∑t⁶) a₃ = ∑x(t) t³

20 a₀ + 210 a₁ + 2870 a₂ + 44100 a₃ = 641,7

210 a₀ + 2870 a₁ + 44100 a₂ + 722666 a₃ = 8499,9

2870 a₀ + 44100 a₁ + 722666 a₂ + 12333300 a₃ = 130137,7

44100 a₀ + 722666 a₁ + 12333300 a₂ + 216455810 a₃ = 2136701,1

20 210 2870 44100

∆ = 210 2870 44100 722666 = 103037192430492

2870 44100 722666 12333300

44100 722666 12333300 216455810

∆₀ = 820899119763620

∆₁ = 191071744212885

∆₂ = 641258443983,09

∆₃ = 175408298603,93

a₀ = ∆₀ / ∆ = 7,967

a₁ = ∆₁ / ∆ = 1,854

a₂ = ∆₂ / ∆ = 0,006

a₃ = ∆₃ / ∆ = 0,002

Полином будет иметь вид:

P₃(t) = 7,967 + 1,854 t + 0,006 t² + 0,002 t³ , t = 1,20

Тогда надежность:

S²(3) = (∑ δ₃²(t)) / N = 13,921 / 20 = 0,696

Исследование невязок (на наличие белого шума)

А) Динамика невязок

Явного тренда не наблюдается, число пересечений осталось прежним.

Б) Поле автокорреляции

В) Численное значение автокорреляции:

∑δ₃(t-1) δ₃(t) 3,68

r₃(l) = = = 0,29

√∑ δ₃²(t-1)∑ δ₃²(t) √ 12,13 * 12,98

График динамики невязок, поле автокорреляции и значение коэффициента автокорреляции дают основания рассматривать ряд невязок на реализацию белого шума.

Проверим на надежность:

σ² (a₃₃) = a³³(3) σ² _δ (3)

a³³(3) = 0,2266 * 10^-5

σ² _δ (3) = N * S²(l) / N-l-1 = 20 * 0,7 / 16 = 0,875

σ (a₃₃) = √0,2266 * 10^-5 * 0,875 = 1,408 * 10^-3

B₃ (3) = σ (a₃₃) / ׀a₃₃׀= 0,704 > 0,3 – низкая надежность

В ходе исследования было получено, что два полинома (второй и третьей степени) могут претендовать на оптимальную модель.

	L=1	L=2	L=3
Точность	3,9	0,76	0,7
Надежность		0,12	0,80

Таким образом, исходя из правила компромисса «точность-надежность» и полученных расчетных данных, наилучшей должна быть признана регрессионная модель второй степени