По определению

Тогда ;

Ответ : .

2.82. На оси тонкого равномерно заряженного кольца радиуса R находится неполярная молекула. На каком расстоянии x от центра кольца модуль силы F, действующей на данную молекулу:

а) равен нулю; б) имеет максимальное значение.

Изобразить примерный график.

Решение.

По определению момент неполярной молекулы

Тогда сила

при F=0,

то и x=0.29R;

Ответ: а) б) и x=0.29R

2.92 Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью ε заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью ρ. Толщина пластины 2d. Найти:

а) модуль напряженности электрического поля и потенциал как функции расстояния l от середины пластины (потенциал в середине пластины φ=0); взяв ось x перпендикулярно пластине, изобразить примерные графики зависимостей проекции E_x(x) и потенциала φ(x);

б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.

Решение:

а.1)

; ; ; ;

Т. к. , то

; ; ;

Из начальных условий: ; ;

Из начальных условий ( )

Т. к. , то (1),

а.2) ; ; ; ;

Т. к. , то

; ; ;

Из условий на границе пластины:

; ;

И з (1):

Т. к. , то

,

б)

; ; ; ; (2)

; l; ;

Из (2):

;

Условия на границе раздела:

;

; Вблизи границы в диэлектрике

;

Ответ:

а) , ; , . Графики зависимостей E_x(x) и φ(x) см. на рис. 17;

б) , .

2.92 Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью ε заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью ρ. Толщина пластины 2d. Найти:

а) модуль напряженности электрического поля и потенциал как функции расстояния l от середины пластины (потенциал в середине пластины φ=0); взяв ось x перпендикулярно пластине, изобразить примерные графики зависимостей проекции E_x(x) и потенциала φ(x);

б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.

Решение:

а.1)

; ; ; ;

Т. к. , то

; ; ;

Из начальных условий: ; ;

Из начальных условий ( )

Т. к. , то (1),

а.2) ; ; ; ;

Т. к. , то

; ; ;

Из условий на границе пластины:

; ;

И з (1):

Т. к. , то

,

б)

; ; ; ; (2)

; l; ;

Из (2):

;

Условия на границе раздела:

;

; Вблизи границы в диэлектрике

;

Ответ:

а) , ; , . Графики зависимостей E_x(x) и φ(x) см. на рис. 17;

б) , .

№2.94. Круглый диэлектрический диск радиуса R и толщины d поляризован статически так, что поляризованность равна Р, всюду одинакова и вектор лежит в плоскости диска. Найти напряжённость электрического поля в центре диска, если d<<R.

Решение:

Для данной задачи очевиден интеграл

Откуда

Ответ :

Задача № 2.98 (3.87)

Половина пространства между двумя концентрическими обкладками сферического конденсатора заполнена, как показано на рисунке, однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью . Заряд конденсатора равен q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля между обкладками как функцию расстояния r от центра кривизны этих обкладок.

Решение:

Систему можно рассмотреть как два параллельно подсоединенных конденсатора, так как разности потенциалов между обкладками конденсаторов равны, найдем распределившиеся заряды:

Q ₁=C₁U; Q₂=C₂U; Q₁+ Q₂=Q; Q₁=Q₂ т.к. C₂= C₁, следовательно Q₁=Q/(+1), а Q₂=Q/(+1), тогда поле: . Рис.

Задача № 2.98 (3.87)

Половина пространства между двумя концентрическими обкладками сферического конденсатора заполнена, как показано на рисунке, однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью . Заряд конденсатора равен q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля между обкладками как функцию расстояния r от центра кривизны этих обкладок.

Решение:

Систему можно рассмотреть как два параллельно подсоединенных конденсатора, так как разности потенциалов между обкладками конденсаторов равны, найдем распределившиеся заряды:

Q ₁=C₁U; Q₂=C₂U; Q₁+ Q₂=Q; Q₁=Q₂ т.к. C₂= C₁, следовательно Q₁=Q/(+1), а Q₂=Q/(+1), тогда поле: . Рис.

Задача 2.99 Внутри шара из однородного диэлектрика с проницаемостью =5,00 создано однородное электрическое поле напряженностью E= 100B/м.Радиус шара R=0.3м.Найти максимальную поверхностную плотность связанных зарядов и полный связанный заряд одного знака.

Решение:

Для изотропных диэлектриков =Р= Е и =1+ отсюда =1- и

=(-1) E=3,5 нКл/м ;

Для связанных зарядов q=- ;

S=r ;P=(-1) E отсюда считая интеграл получаем

q= r (-1) E=10пКл;

Ответ:1) =(-1) E=3,5 нКл/м ;

2) q= r (-1) E=10пКл.

2.112. Условие: К напряжению U=100 В подключили последовательно 2 одинаковых конденсатора, каждый ёмкости c=40пФ. Затем один из них заполнили диэлектриком проницаемости =3,0. Во сколько раз уменьшится напряжённость электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд проходит в цепи?

Решение: q₁₁=q₁₂=Uc₁/2; (Начальные заряды на кондёрах)

c₂=3c₁; (изменившаяся ёмкость)

q₂₁=q₂₂=3Uc₁/4;

U₁c₁=U₂3c₁ и U₁+U₂=U решаем систему

U₂=U/4;

E₁/E₂= U₁/U₂=2;

q=Uc₁/2-3Uc₁/4=10^-10 Ф.

2.113

Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщины d₁ и d₂ и проницаемости е₁ и е₂ . Площадь каждой обкладки равна S. Найти:

1. емкость конденсатора

2. общую плотность связанных зарядов на границе раздела слоев, если напряжение на конденсаторе равно U, и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.

Решение:

Будем рассматривать слои как отдельные конденсаторы, которые соединены последовательно:

Ответ:

2.114

Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен диэлектриком, проницаемость которого меняется в перпендикулярном обкладкам направлении—растёт линейно то E1 до E2. Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними d

a) Дано: S, d, E1 ,E2

Найти: C.

Решение:

По условию: E=kx+b;

Найдем k и b:

=>

По определению C=q/U;

Отсюда

Ответ:

б) Дано: S, d, E1 ,E2,q x

Найти:

E

Решение: По теореме Остроградского-Гаусса для выделенного контура получаем:

Ответ:

№ 2.120

Условие: два диэлектр. шара радиуса a расположены друг от друга на расстоянии между центрами b. b>>a. Найти их взаимную емкость.

Решение:

Найдем потенциалы этих шаров:

Суммарный потенциал:

Взаимная емкость c=

№ 2.122

Найти емкость между A и B в след. цепях:

a )

Р ешение: Эта схема эквивалентна:

Тогда C=C₁+C₂+C₃

б )

Решение:

Э та схема эквивалентна:

Между 3-2 разность потенциалов равна 0, значит, C=C/2+C/2 = C

№-2.124.

Конденсатор ёмкости =1.0мкФ выдерживает напряжение не более =6кВ, а

конденсатор ёмкости =2.0мкФ не более =4.0кВ. Какое напряжение может

выдержать система из этих 2-х конденсаторов при последовательном соединении ?

Решение :

При последовательном соединении : = /( + );

Q= U - заряд системы. Посчитаем напряжение на каждом из конденсаторов :

=q/ = U/ = U/( + ); = U/( + );

U/( + ) ; U ( + )/ = (1+ / )=9(кВ);

и U/( + ) ; U ( + )/ = (1+ / )=12(кВ);

< ; = ;

Ответ: =9кВ;

№ 2.128

На схеме найти направление электрического поля в конденсаторах и напряжение на них, если ₁=10В, ₂=15В, С₁=4.0 мкФ, С₂=6.0 мкФ

Т.к. конденсаторы подключены последовательно, имеем

где , q-заряд на конденсаторах

;

С₁

₁ ₂

С₂

Ответ: поле Е направлено по часовому обходу контура

№2132

Найти заряды, которые потекут после замыкания ключа через сечения 1 и 2 в направлениях, указанных стрелками.

С₁ С₂

1 2

К

 

; ; ;

Ответ: ;

2.135. Определить суммарную энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной а в системах на рис.

Решение:

Энергия взаимодействия пары зарядов

где d – расстояние между зарядами.

Суммарную энергию взаимодействия найдем как сумму энергий всех 6 пар:

аналогично

Ответ: .

№ 2.142

Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Считая проницаемость  найти:

а) собственную электрическую энергию шара;

б) отношение энергии W₁ внутри шара к энергии W₂ в окружающем пространстве.

Решение:

Поле внутри шара ;

Поле вне шара ;

Плотность энергии ;

Тогда ;

Собственная электрическая энергия шара – вся энергия, создаваемая его полем.

Тогда =W₁+W_{2 ;}

;

;

Тогда

;

W₁/W₂=1/5.

Ответ:

а) ;

б) W₁/W₂=1/5 .

2.145. Сферическую оболочку радиуса R₁, равномерно заряженную зарядом q, расширили до радиуса R₂, найти работу, совершенную при этом электрическими силами.

Решение:

Сначала найдем изменение потенциала

Полная работа равна изменению потенциальной энергии взаимодействия зарядов на сфере. Потенциальная энергия определена с точностью до постоянной и может быть вычислена следующим образом. Рассмотрим малый участок поверхности сферы dS с зарядом dq

Потенциальная энергия этого заряда

Найдем энергию сферы интегрируя по поверхности. коэффициент 1/2 присутствует т.к. заряды взаимодействуют попарно, поэтому энергия взаимодействия каждой пары учитывается дважды

Ответ: .

2.146. В центре сферической оболочки, равномерно заряженной зарядом q=5,0 мкКл, расположен точечный заряд q₀=1,50 мкКл. Найти работу электрических сил при расширении оболочки – увеличении её радиуса от R₁=50 мм до R₂=100 мм.

Решение:

Если рассмотреть расширение сферы без заряда q₀, то энергия необходимая на увеличение радиуса сферы на dr:

Работа, необходимая для расширение от радиуса до :

Заряд в центре создаёт электрическое поле, действующее на заряженную сферу.

Поэтому работа от этого заряда:

Ответ: