№ 2.3

Условие: есть два заряда, q₁ и q₂ с радиус векторами r₁ и r₂, соответственно.

Найти, каким должен быть третий заряд q₃, и каким должен быть его радиус-вектор r₃, чтобы суммарная сила взаимодействия для всех зарядов была нулевой?

Решение:

Рассмотрим третий заряд: из равенства по модулю действующих на него сил:

Решая это квадратное уравнение относительно x, получим:

Из рисунка видно, что , тогда

Рассматривая первый заряд,

№2.5

Два небольших одинаково заряженных шарика массой m подвешены к одной точке на шелковых нитях, образующих между собой малый угол и находятся на одном уровне. Найти скорость утечки заряда с каждого шарика, если скорость сближения шариков постоянна и равна V.

Решение:

l

x F_k

mg

tg ;

F_k= ; - сила Кулоновского взаимодействия

подставим: ;

V=dx/dt=l

Выразим угол:

Тогда

Скорость утечки заряда ={ }=

№-2.007.

Тонкое проволочное кольцо =100мм имеет электрический заряд =50мкКл.Каково будет приращение силы ,растягивающей проволоку ,если в центре кольца поместить точечный заряд

=7.0мкКл ?

Решение:

; а ; ;

Ответ: .

№ 2.9

В вершинах квадрата с диагональю 2l=100 мм находятся одинаковые по модулю (q=2.5мкК) точечные заряды, знаки которых при обходе квадрата расположены в порядке ‘+’,’+’,’-‘,’-‘. Найти напряжённость Е электрического поля в точке, отстоящей на расстоянии х=50 мм от центра квадрата и расположенной симметрично относительно вершин.

Получаем равнобокую пирамиду с квадратным основанием. В проекции на высоту получаем 0.А в проекции на основание квадрат с полудиагоналями напряженность от 1 заряда

Суммарное воздействие

Ответ:

2.13. Полубесконечный круглый цилиндр радиуса R заряжен равномерно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд . Найти напряженность электрического поля в центре основания цилиндра.

Решение:

Разобьем цилиндр на множество колец. В центре основания цилиндра поле перпендикулярно этому основанию т. к. тангенциальные составляющие взаимно компенсируются. Тогда можно проинтегрировать по углу:

Пусть dq – заряд элементa dl длины цилиндра, видимого под углом d,  – угол между направлениями на край цилиндра и dl из центра основания, r – расстояние от центра основания до dl,

Ответ: .

№ 2.17

Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью =₀cos, где ₀ постоянная, - азимутальный угол. Найти модуль напряженности электрического поля :

а) в центре кольца ;

б) на оси кольца в зависимости от расстояния x от до его центра. Исследовать полученное

выражение при x>>R .

Р ешение:

а)

Выделем маленький участок кольца dr=Rd

Считая заряд на нем распределенным равномерно, получим

dq=₀cosRd;

Разложим составляющие E на E_x и E_y

E_x=EsinE_y=Ecos

;

;

тогда ;

;

;

б)

Р ассмотрим действие небольшого элемента кольца dr на расстоянии x от центра:

dq=_cosRd

|dE| ;

Разложим вектор dE на dE_x ,dE_y и dE_z

Очевидно что из-за симметрии cosсумма всехdE_x и dE_y будет равна нулю (левое полукольцо(заряжено противоположно правому) действует в проекциях на Ox и Oy с той же силой, но в противоположном направлении, что и правое полукольцо).

dE_z=dEsin 

r²=x²+R² (одинаково для всех точек кольца);

Тогда из рисунка : ;

; ;

Ответ:

а) ;

б) .

2.19. Длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд λ на единицу длины. Найти модуль и направление электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние y и находиться на перпендикуляре к нити, проходящем через один из её концов.

Решение:

Выделили элемент dx, его заряд dq= λ*dx.

Напряжённость поля от этого элемента в точке O в проекции на Оv:

Для проекции на Ou:

И направлен под углом 45⁰ к нити.

Ответ:

2.26 Две скрещивающиеся, взаимно-перпендикулярные нити бесконечной длины заряжены равномерно с линейной плотностью . Найти силу их взаимодействия.

Решение: copyright 2001 Андрюха, 13РФ.

Пусть наименьшее расстояние между точками нити . Примем координату одной из этих точек и координату другой за нули. Тогда сила взаимодействия двух элементов нитей и равна , а результирующая сила взаимодействия нитей .

2.30 Напряженность электрического поля E=arr, где a- постоянная, r- расстояние от центра поля. Найти плотность зарядов ρ(r), создающих это поле.

Решение:

Уравнение Максвелла:

Ответ: .

2.38. Условие: Тонкое кольцо R=25 см. имеет заряд q=5,0 мкКл, неравномерно распределённый по кольцу. Найти работу электрических сил по перемещению точечного заряда q1=10ккК из центра кольца по произвольному пути в точку, находящуюся на оси кольца на l=50 см от его центра.

Решение: Работа по перемещению заряда не зависит от траектории.

A=₁-₂;

₁=qq1/(4R₀);

d₂=q1dq/(4₀ );

₂=qq1/(4₀ );

A==₁-₂=qq1(1- )/(4₀)=0,1 Дж;

Задача № 2.39 (3.32)

Находящаяся в вакууме круглая тонкая пластинка радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Найти потенциал и модуль напряженности электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния l от ее центра.

Решение:

Для кольца напряженность:

где dr – толщина кольца;

Разбивая диск на кольца получаем: для потенциала: Проинтегрируем и получим:

;

2.40

Условие:

Коническая поверхность с основанием радиуса R и углом между боковой поверхностью и прямой соединяющей центр основания и вершину β, равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Найти потенциал в вершине конуса.

Решение:

Рассмотрим точечный заряд q, находящийся на расстоянии r от вершины конуса. Создаваемый им потенциал равен:

Просуммируем потенциалы, создаваемые элементарными кольцами по всему конусу:

Ответ:

№ 2.51.

Два коаксиальных кольца, каждое радиуса R, из тонкой проволоки находятся на малом расстоянии l друг от друга (l<<R) и имеют заряды q и –q. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты х.

РЕШЕНИЕ:

Найдем зависимость потенциала системы от расстояния.

В ыразим через полученное значение напряженность.

О ТВЕТ.

2.58 Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра как , где и - постоянные. Найти распределение объёмного заряда внутри шара.

Решение: copyright 2001 Андрюха, 13РФ.

. Возьмём две концентрические сферы радиусами и . Тогда между ними заключен заряд . По теореме Гаусса .Приравнивая, получаем .

2.64

Точечный заряд q находиться между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостями. Расстояние от заряда до каждой полуплоскости l. Найти модуль силы, действующей на заряд.

Решение:

Полуплоскости равносильны трём точечным зарядам, которые находятся в вершинах квадрата со стороной 2l, в четвертой вершине – заряд из условия. Знаки и значения зарядов на диагоналях совпадают и противоположны другой диагонали. По закону Кулона:

Ответ:

2.64

Точечный заряд q находиться между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостями. Расстояние от заряда до каждой полуплоскости l. Найти модуль силы, действующей на заряд.

Решение:

Полуплоскости равносильны трём точечным зарядам, которые находятся в вершинах квадрата со стороной 2l, в четвертой вершине – заряд из условия. Знаки и значения зарядов на диагоналях совпадают и противоположны другой диагонали. По закону Кулона:

Ответ:

№ 2.66.

Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей безграничной плоскости. Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния r от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.

РЕШЕНИЕ.

Так как плоскость проводящая, можем записать.

ОТВЕТ: .

№2.68.

Условие:

На расстоянии l от плоскости из диэлектрика перпендикулярно ей расположена равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда . Найти поверхностную плотность заряда на плоскости на расстоянии r от точки проекции нити на плоскость и в точке проекции.

Решение: рассмотрим срез ( т. к. поле симметрично относительно нити)

При рассмотрении создаваемого на достаточно маленьком расстоянии от поверхности плоскости поля можно пренебречь его параллельной компонентой, а рассмотреть лишь перпендикулярную компоненту, рассчитываемую по формуле:

, тогда имеем:

, тогда

№2.71

Заряд q распределен неравномерно по тонкому кольцу радиуса R. На расстоянии l от центра кольца на его оси расположен центр проводящей незаряженной сферы. Найти её потенциал.

Решение:

, (внутри сферы потенциал постоянен)

№-2.074.

4 большие металлические пластины расположены на малом расстоянии d друг от друга.

Внешние пластины соеденены проводником , а на внутренние подана разность потенциалов . Найти: а)напряжённость электрического поля между пластинами;

б)суммарный заряд на единицу площади каждой пластины.

Решение:

1 ­По определению :

2 Эту систему можно рассмотреть как систему 3-х конденсаторов

3

одинаковых ёмкостей. Два из них соеденены последовательно ,а 3-й

4

параллельно им. Следовательно напряжение на каждом из 2-х соедененых последовательно конденсаторах напряжение будет равно ; ;

Исходя из тех же соображений можно записать: ;

Можно также записать ; Отсюда находим :

а ; и ; ;

Ответ: ;

; .

2.77. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу поверхности произвольного проводника в точке, где  = 46 мкКл/м².

Решение:

Примечание: в данной задаче используется модель, в которой полагается, что поле у поверхности проводника такое же, как у поверхности заряженной плоскости.

Ответ:

№2.79

Условие задачи:

Незаряженный проводящий шар радиуса r поместили в однородное поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью , где - полярный угол. Найти модуль суммарной электрической силы, действующей на весь индуцированный заряд одного знака.

Рисунок:

Решение:

Найдем суммарный заряд одного знака, проинтегрировав по половине поверхности:

Найдем силу, действующую на весь индуцированный заряд одного знака:

F=Eq= ,

где Ф-поток вектора напряженности э/ст. поля через половину поверхности шара

Ответ: F=

№ 2.80

Найти энергию упругого диполя с поляризованностью p=_Eво внешнем электрическом поле с напряженностью E .

Решение:

M=[pE] однако , так как при повороте диполя относительно E диполь удлиняется или сжимается, т.е. плечо силы изменяется, то M не постоянен.

M=[_E_lE] , E_l - вектор проекции поля на диполь E_l=Ecos