29.Орграфы, турниры. Предки и потомки вершин. Алгоритм Фалкерсона разбиения орграфа на слои.

Орграфом   называется пара  , где   непустое конечное множество элементов, называемых вершинами, а   — конечное семейство упорядоченных пар элементов из  , называемых дугами (илиориентированными ребрами ). Дуга, у которой вершина   является первым элементом, а вершина   — вторым, называетсядугой из   в    . Заметим, что дуги   и   различны. Хотя графы и орграфы — различные объекты, в определенных случаях графы можно рассматривать как орграфы, в которых каждому ребру соответствуют две противоположно ориентированные дуги.   и   называются соответственно множеством вершин и семейством дуг орграфа  .

Турниром называется орграф, в котором любые две вершины соединены ровно одной дугой.

Алгоритм Форда–Фалкерсона решает задачу нахождения максимального потока в транспортной сети.

Идея алгоритма заключается в следующем. Изначально величине потока присваивается значение 0: f(u,v) = 0 для всех  . Затем величина потока итеративно увеличивается посредством поиска увеличивающего пути (путь от источника s к стоку t, вдоль которого можно послать больший поток). Процесс повторяется, пока можно найти увеличивающий путь.

30.Комбинаторная постановка задачи коммивояжера.

Задача коммивояжёра (коммивояжёр — разъездной сбытовой посредник) — одна из самых известных задач комбинаторной оптимизации, заключающаяся в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и т. п.) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и т. п. Как правило, указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз — в таком случае выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов.

31. Постановка задачи коммивояжера в виде задачи целочисленного программирования. Условие наличия одного цикла.

При решении многих задач нецелочисленное решение не имеет смысла. Раздел математического программирования, в котором на экстремальные задачи налагается условие дискретности переменных при конечной области допустимых решений, называется дискретным программированием. При наличии условия целочисленности имеется в виду подраздел дискретного программирования - целочисленное программирование.

Коммивояжер должен посетить один, и только один, раз каждый из n городов и вернуться в исходный пункт. Его маршрут должен минимизировать суммарную длину пройденного пути.

Математическая модель задачи: , ,

Условия неотрицательности и целочисленности: , .

Добавляется условие прохождение маршрута через все города, т.е. так называемое условие цикличности. Иначе, маршрут должен представлять собой замкнутую ломаную, без пересечений в городах-точках

32. Постановка задачи коммивояжера на языке теории графов.

Задача коммивояжера может быть сформулирована как задача на графе в следующей постановке: построить граф G(X, A), вершины которого соответствуют городам в зоне коммивояжера, а дуги отображают коммуникации, соединяющие пары городов. Пусть длина a(х, у) > 0 каждой дуги (х, у) є А равна расстоя­нию, стоимости или времени. Контур, включающий каждую вершину графа G хотя бы один раз, называется маршрутом коммивояжера. Контур, включающий каждую вершину графа G ровно один раз, называется гамильтоновым контуром (по имени ирландского математика Вильяма Роуана Гамильтона, ко­торый в 1859 г. первым начал изучение этих задач).

Города — это вершины графа.

Дороги между городами — это ориентированные ребра графа.

Длина соответствующей дороги — это вес ребра.

Граф должен быть полным, т.е. в нем имеются все возможные ребра. Если граф не является полным, то его можно дополнить недостающими ребрами с весом =

Путь, который требуется найти, - это ориентированный оставный, простой цикл, минимального веса в графе. Такие циклы называются гамильтоновыми.

Оставным циклом называется такой цикл, который проходит через все вершины. Вес цикла — это сумма веса всех ребер.