Основные понятия темы

Неравенство Чебышева.

Если СВ Х имеем MX=a и DX, то для любого ε>0 справедливо неравенство Чебышева

P(|X-MX| ) или P(|X-MX|<ε) 1- .

Неравенство Маркова

P(X>ε)< или P(X<ε) 1- .

Теорема Чебышева (закон больших чисел ЗБЧ):

Если СВ Х , Х ,…, Х независимы и существует такое число С>0, что DX С,

i=1, 2, …, n, то для любого ε>0

Р(| |<ε)>1- или

Р(| |<ε)=1,

т.е. среднее арифметическое этих СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их м.о.

Закон больших чисел (ЗБЧ) – это совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к 1, отклонение средней арифметической достаточно большого числа случайных величин от постоянной величины – средней арифметической их математических ожиданий, не превзойдёт заданного как угодно малого числа ε>0. Теорема Чебышева – наиболее общий ЗБЧ. Теорема Бернулли – простейшая.

Теорема Бернулли.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна, то вероятность того, что отклонение частоты от вероятности p по модулю не превзойдёт числа ε>0, больше, чем разность 1- , т.е.

Р(| | )>1- или

Р(| | )=1.

Центральная предельная теорема (ЦПТ).

ЦПТ представляет собой вторую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между законом распределения сумм СВ и его предельной формой – нормальным законом распределения.

Теорема Ляпунова

Если СВ Х , Х ,…, Х независимы и имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией σ , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы Х= неограниченно приближается к нормальному закону.

Вероятность попадания СВ Х~N(a,σ) в заданный промежуток (α,β):

P (α<X<β)=Φ ( )-Φ ( ).

Для определения вероятности того, что сумма нескольких СВ окажется в заданных пределах нужно сделать переход от СВ S = к стандартной СВ по формуле

P(α β)≈Φ( )-Φ( ).

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Следствиями ЦПТ являются рассмотренные ранее теоремы Муавра-Лапласа.

Лекция №4 Основы математической статистики

1. Генеральная и выборочная совокупности.

2. Оценка неизвестных параметров.

3. Точечные оценки параметров.

4. Интервальные оценки параметров.

5. Проверка статистических гипотез.

Основные понятия темы

Математическая статистика – раздел математики. В котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Говорят, что «математическая статистика - это теория принятия решений в условиях неопределённости».

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (случайных событий, процессов) по результатам наблюдений (опытов, экспериментов).

Можно выделить три основных задачи математической статистики:

1. упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа данные наблюдений;

2. оценить характеристики наблюдаемой СВ;

3. проверить статистические гипотезы, т.е. решить вопрос согласования результатов оценивания с опытными данными.

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений исследуемой СВ Х. Выборочной совокупностью (выборкой)называется совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности, генеральной - N или выборочной - n, называется её объёмом. конкретные значения выборки, полученные в результате наблюдений. Называют реализацией выборки и обозначают строчными буквами .

Статистической оценкой параметра теоретического распределения называют его приближённое значение, зависящее от данных выбора. Оценка есть значение некоторой функции результатов наблюдений над СВ, т.е. = ( ).

Свойства статистических оценок

1. Оценка параметра называется несмещённой, если M = , в противном случае она называется смещённой.

2. Оценка называется состоятельной, если при увеличении объёма выборки значение стремится (сходится) по вероятности к истинному значению параметра .

3. несмещённая оценка параметра называется эффективной. Если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок параметра .

Точечные оценки параметров генеральной совокупности

Пусть - выборка генеральной совокупности, тогда выборочное среднее

= - несмещённая и состоятельная оценка математического ожидания МХ.

Пусть - выборка генеральной совокупности, тогда исправленная выборочная дисперсия

Интервальное оценивание параметров

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами – концами интервала. Интервал ( ), накрывающий с вероятностью γ истинное значение параметра , называется доверительным интервалом, а вероятность γ - надёжностью оценки или доверительной вероятностью. Часто доверительный интервал выбирается симметричным относительно несмещённой точечной оценки , т.е. выбирается интервал вида ( -ε, +ε) такой, что Р(| - |<ε)=γ. Число ε>0 характеризует точность оценки.

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии

γ=Р(| |)=2Φ ( )=2Φ (t), где t= . Тогда ε= .

Доверительный интервал для a=MX есть , где t определяется из уравнения Φ (t)= или Φ(t)=

Проверка статистической гипотезы состоит из этапов:

1. Определяем гипотезы H и H .

2. Определяем по уровню значимости α и по альтернативной гипотезе H критическую область.

3. По таблицам находим квантиль нужного закона распределения.

4. Вычисляем по выборке значение статистики.

5. Сравниваем значение статистики с критической областью.

6. Принимаем решение.

13