По правилу сложения матриц

,

аксиома 4 имеет место.

Итак, аксиомы 1 - 4 справедливы. Аналогично проверяется выполнение аксиом 5 - 8. Таким образом, совокупность всех квадратных матриц 2-го порядка - линейное пространство.

Следует отметить, что, вводя линейное пространство, мы отвлекаемся не только от конкретной природы изучаемых объектов, но и от конкретных правил образования суммы векторов и произведения на число, - важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли аксиомам, сформулированным в определении линейного пространства.

Укажем некоторые следствия из аксиом.

1. Единственность нулевого элемента.

Действительно, допустим, и - нулевые элементы, следовательно, .

Имеем (так как - нулевой), но (так как - нулевой), следовательно, .

2. Единственность противоположного элемента.

Пусть и , - противоположные элементы для , т.е. , .

Рассмотрим вектор . Имеем

.

С другой стороны,

.

Теперь всюду далее противоположный элемент для будем обозначать .

3. Существование и единственность разности.

Дадим определение разности. Для любых двух векторов и назовем разностью и такой вектор , что . Обозначим .

Положим .

Имеем

.

Следовательно, вектор удовлетворяет определению разности.

Покажем, что он единственный вектор, удовлетворяющий этому определению.

Пусть .

К обеим частям последнего равенства прибавим вектор :

-

таким образом, вектор - единственный.

4. Для любого вещественного числа .

5. Для любого вектора .

6. Если , то либо , либо .

Для любого вещественного числа и любого справедливы соотношения:

7. ;

8. .

Следствия 4 - 8 докажите самостоятельно.

10.2. Базис линейного пространства

Определение 2. Пусть - линейное пространство. Вектор называется линейной комбинацией векторов , если найдутся такие числа , что

.

Определение 3. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , не все равные нулю одновременно, что выполняется равенство

.

Определение линейно зависимой системы векторов можно дать в следующей эквивалентной форме, иногда более удобной.

Определение 3'. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Определение 4. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно независимой, если из равенства

следует, что .

Пример 3. Пусть - линейное пространство всех матриц порядка . Доказать, что векторы

и

линейно независимы.

Решение. Рассмотрим линейную комбинацию :

. (10.1)

Привлекая правила умножения матриц на число и сложения матриц, получим

. (10.2)

Равенства (10.1) и (10.2) дают

откуда , следовательно, и линейно независимы.

Справедливы следующие два утверждения, доказательство которых приведено в лекции 1.

Теорема 1. Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Теорема 2. Всякая система векторов , содержащая линейно зависимую подсистему векторов, , линейно зависима.

Определение 5. Система векторов линейного пространства называется базисом в , если:

1) линейно независима;

2) (вещественные числа):

. (10.3)

Правая часть равенства (10.3) называется разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора в базисе .

Приведем примеры базисов в конкретных линейных пространствах.

Пример 4. - линейное пространство всех геометрических векторов, базисом являются любые три некомпланарных вектора.

Пример 5. - линейное пространство всех многочленов степени . Показать, что базисом является система векторов .

Решение. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулевому вектору:

,

или

.

Имеет место основная теорема алгебры: всякий многочлен степени с действительными коэффициентами имеет ровно корней, при этом каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Это утверждение означает, что равенство возможно не более, чем в точках, т.е. не может выполняться тождественно (как равенство между векторами в ).

Следовательно, допущение, что линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нулевому вектору , влечет , а это означает, что линейно независимы.

Пусть - произвольный многочлен степени . В последней записи представлен в виде линейной комбинации векторов , что вместе с линейной независимостью этих векторов доказывает, что система - базис в пространстве многочленов степени (в соответствии с определением 5).

Пример 6. - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2. Показать, что базисом является система

, , , .

Решение. Убедимся в том, что система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее :

,

или

,

откуда

.

Последнее равенство дает , следовательно, система векторов линейно независима.

Пусть - произвольный вектор из .

Привлекая определения сложения матриц и умножения матрицы на число, получим

,

т.е. любой вектор из можно представить в виде линейной комбинации . В соответствии с определением 5 это вместе с доказанной выше линейной независимостью означает, что - базис.

Упражнение. Доказать, что в линейном пространстве система векторов , , …, является базисом.

Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты относительно базиса определены однозначно.

Доказательство. Пусть , и .

Имеем

.

С другой стороны,

.

Откуда в силу линейной независимости векторов следует , т.е. .

Допустив, что вектор имеет два разложения по базису , мы получили, что эти разложения совпадают, это и означает, что координаты вектора относительно базиса определены однозначно.

Теорема доказана.

Замечание. Доказательство Теоремы 3 почти дословно повторяет доказательство аналогичного утверждения для геометрических векторов (Теорема 6 в лекции 1). Как и при доказательстве Теорем 1 и 2 , не используется геометрическая природа векторов, а лишь понятия линейной зависимости и линейной независимости. Приведенную ниже Теорему 4 предлагаем доказать самостоятельно (см. Теорему 7 в Лекции 1).

Теорема 4. Пусть - линейное пространство, - базис в . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - базис в . Всякая система векторов при линейно зависима.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение для (если , сошлемся на теорему 2).

Пусть - произвольная система векторов в .

Случай 1. Среди есть , следовательно, система линейно зависима.

Случай 2. .

Так как система - базис, существуют такие , что

,

, (10.4)

……………………………………

.

Среди чисел есть отличные от нуля (иначе ). Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что (в противном случае можно перенумеровать базисные векторы), следовательно,

. (10.5)

Подставив (10.5) во все равенства (10.4), начиная со второго, получим

,

…………………………………… (10.6)

.

Векторы линейно выражаются через .

Если в первом равенстве в системе (10.6) , то , и система векторов линейно зависима. Тогда, согласно теореме 2, система векторов также линейно зависима.

Если же среди есть отличные от нуля, то, не ограничивая общности рассуждений, считаем, что .

Из первого равенства в (10.6) имеем

. (10.7)

Подставим (10.7) во все равенства (10.6), начиная со второго, получим выражения через .

Процедуру повторим раза и придем к равенству

.

Один из векторов системы оказался линейной комбинацией остальных, следовательно, линейно зависимы.

Теорема доказана.

Следствие. Все базисы линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Действительно, пусть (I) и (II) - два базиса в .

Допустим, . Так как система (I) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (II) линейно зависима. Это противоречит тому, что (II) - базис. Отсюда .

Допустим теперь, что . Так как система (II) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (I) линейно зависима. Это противоречит тому, что (I) - базис. Следовательно, .

Вместе эти два заключения дают .

Определение 6. Число векторов в любом базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Для размерности линейного пространства принято обозначение .

В рассмотренных примерах:

1. если - линейное пространство всех геометрических векторов пространства, ;

2. если - линейное пространство всех многочленов степени , ;

3. если - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2, .

Лекция 11

Связь между базисами линейного пространства.

Линейные подпространства

Матрица перехода от базиса к базису. Связь координат одного и того же вектора в двух базисах. Линейные подпространства. Примеры

11.1. Связь между базисами линейного пространства

Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в .

Так как (I) - базис, любой вектор из , в частности любой вектор системы (II), можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (I), т.е. найдутся такие числа , что

………………………………. (11.1)

Определение 1. Матрица называется матрицей перехода от базиса (I) к базису (II).

Замечание 1. Столбцы матрицы перехода , являются координатами в разложении векторов по базису (I).

Справедливость этого замечания непосредственно следует из равенств (11.1).

Замечание 2. Матрица перехода от базиса к базису является невырожденной матрицей.

Доказательство этого факта опустим.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), , и , тогда

. (11.2)

Доказательство. Подставим в разложение по базису (II) выражения из (11.1), получим

.

Последнюю сумму запишем развернуто:

.

По условию , используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 в лекции 10), получим

,

,

……………………………………

,

что в матричном виде выглядит как равенство

.

Отсюда следует

.

Теорема доказана.

Пример 1. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, (I) - произвольный декартов базис, (II) - декартов базис, полученный поворотом векторов и на угол против хода часовой стрелки. Найти матрицу перехода от (I) к (II) и связь координат одного и того же вектора в (I) и (II).

Имеем , (рис. 11.1). Тогда

.

- матрица перехода от (I) к (II).

Найдем .

и

.

Формула (11.2) в этом случае имеет вид

,

где - координаты произвольного вектора в базисе (I), а – координаты этого же вектора в базисе (II).

(Сравните с формулами (5.24) в Лекции 5).

Пример 2. - произвольное линейное пространство, . Векторы , и заданы своими координатами в некотором базисе . Доказать, что система - базис в , и найти координаты вектора в базисе .

Сначала докажем, что система - базис. Рассмотрим линейную комбинацию векторов и , равную нулевому вектору :

.

Покоординатно последнее равенство запишется в виде системы двух уравнений:

(11.3)

Определитель системы (11.3) , следовательно, система (11.3) имеет единственное решение .

Итак, допустив, что линейная комбинация векторов и равна , мы с необходимостью получили, что коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Это означает, что система векторов линейно независима, а так как , векторы являются базисом в . Обозначим этот базис (II).

Найдем матрицу перехода от (I) к (II).

В силу определения 1 (координаты векторов и в (I) располагаем по столбцам).

Обозначим через координаты вектора в (II).

Воспользуемся теоремой 1. Найдем . Имеем

,

и по формуле (11.2) получим

.

Итак, .

11.2. Линейные подпространства

Определение 2. Пусть - линейное пространство. Непустое подмножество линейного пространства ( ) называется линейным подпространством в , если выполняются два условия:

1) ;

2) при любом вещественном числе .

Пример 3. Пусть - линейное пространство всех арифметических -мерных векторов ; - совокупность всех векторов, у которых первая и последняя компоненты равны нулю, т.е. векторов вида . - подпространство в .

Действительно, пусть и , следовательно, по определению и . По правилу сложения векторов в и, таким образом, сумма любых двух векторов из принадлежит .

Пусть и - произвольное вещественное число. Но (так как ), следовательно, по правилу умножения вектора на число в и вместе с любым вектором произведение его на тоже принадлежит . В соответствии с определением 2 это означает, что - линейное подпространство в .

Замечание. Если - линейное подпространство в , то само является линейным пространством относительно введенных в операций сложения и умножения на число.

Действительно, требования 1) и 2) в определении 2 означают, что в определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Аксиомы 1 и 2 выполняются в , так как они имеют место в . Убедимся в справедливости аксиомы 3.

Пусть , , следовательно, согласно условию 2) , но по следствию 5 из аксиом в , таким образом, и в справедлива аксиома 3.

Пусть , . Следовательно, согласно условию 2) , но по следствию 8 из аксиом в , таким образом, и в справедлива аксиома 4.

Аналогично проверяется справедливость аксиом 5 - 8, следовательно, - линейное пространство.

Пусть - произвольное линейное пространство, - некоторая система векторов в . Рассмотрим совокупность всех векторов вида , где принимают всевозможные вещественные значения. Обозначим множество этих векторов . называется линейной оболочкой векторов . является подпространством в .

Действительно, (так как, например, сами векторы , , принадлежат ).

Пусть , , следовательно, по определению такие, что , .

Имеем и .

Пусть , - произвольное вещественное число.

Имеем

и .

Таким образом, выполняются условия 1) и 2) определения 2 и является линейным подпространством в .

Говорят, что порождено системой векторов или "натянуто" на систему .

Заметим, что само линейное пространство может рассматриваться как линейная оболочка любого своего базиса.

Пример 4. Найти размерность и базис линейной оболочки векторов , , .

Найдем ранг матрицы, строками которой являются данные векторы , , :

~ ~ .

Минор второго порядка , следовательно, первые две строки матрицы линейно независимы. Значит, векторы и составляют линейно независимую систему векторов в , а следовательно, и в линейной оболочке , и вектор через них линейно выражается. Тогда любой вектор тоже линейно выражается через и . Векторы и являются базисом в , .

Упражнение. - линейное пространство арифметических векторов . Найти размерность и все базисы линейной оболочки векторов , , , .

Лекция 12

Линейные операторы

Линейный оператор - определение и примеры. Матрица линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы. Линейные операторы с простым спектром

12.1. Понятие линейного оператора

Определение 1. Пусть - линейное пространство и каждому вектору , принадлежащему , поставлен в соответствие вектор , . Соответствие называется оператором, определенным в линейном пространстве .

Принята также запись: . Вектор называется прообразом, а - образом при отображении оператором .

Определение 2. Оператор , определенный в линейном пространстве , называется линейным, если:

1) ;

2) - вещественного числа .

П ример 1. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - зеркальное отражение относительно оси (рис. 12.1). - линейный оператор.

Убедимся, что выполняется требование 2) в определении 2.

Пусть - произвольное вещественное число, по определению умножения на для геометрического вектора вектор имеет то же направление, что и , если , и противоположное, если , и .

Рис. 12.2 соответствует случаю , ( рассматривается аналогично).

П усть , , - зеркальное отражение вектора относительно оси , - зеркальное отражение вектора . Тогда ~ и, значит, . Но , поэтому . Кроме того, направление вектора совпадает с направлением вектора , следовательно, . Таким образом, имеем

.

Так же, исходя из геометрических соображений, можно доказать, что , следовательно, оператор зеркального отражения относительно оси является линейным оператором.

Определение 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , - линейный оператор в . Матрицей линейного оператора в базисе называется матрица , , такая, что

,

,

…………………………………….. (12.1)

.

Замечание 1. Столбцы матрицы являются координатами в разложении векторов по базису .

П ример 2. Найти матрицу линейного оператора зеркального отражения относительно оси в базисе .

По определению оператора (рис. 12.3).

Используя разложение векторов и по базису , находим: , . Полученные строки координат располагаем по столбцам:

.

Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - декартов базис, - декартова система координат, - оператор проектирования на ось . Доказать, что - линейный оператор, и найти его матрицу в базисе .

Замечание 2. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , (I) - базис в . Матрица оператора в базисе (I) определена однозначно.

Для того, чтобы в этом убедиться, разложим векторы по базису (I). Столбцы матрицы представляют собой координаты этих векторов, которые согласно теореме 3 лекции 10 определяются единственным образом, следовательно, матрица оператора в (I) определена однозначно.

Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) - базис в , - линейный оператор в , - матрица линейного оператора в базисе (I), , , , . Тогда

.

Доказательство. Имеем

.

По условию .

Используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 из лекции 10), получим

. (12.2)

Заметим, что в последнем равенстве числа - элементы k-й строки матрицы .

Привлекая правило умножения матриц, равенство (12.2) запишем в виде

.

Теорема доказана.

Пример 3. Для линейного оператора зеркального отражения относительно оси найти, как преобразуются координаты произвольного вектора.

Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2:

.

В силу теоремы 1, если - прообраз, а - образ, , то , т.е. первая координата образа остается без изменения, а вторая меняет лишь знак (рис. 12.4).

Пример 4. - линейное пространство всех многочленов степени , - линейный оператор дифференцирования. Найти его матрицу в базисе и, используя теорему 1, продифференцировать многочлен .

Решение. Находим образы векторов базиса и разлагаем полученные векторы по базису :

,

,

.

Матрица оператора в базисе имеет вид

,

а вектор . Обозначим . По теореме 1 имеем

,

или в виде разложения по базису : .

Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - декартов базис, - декартова система координат, - оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Доказать, что - линейный оператор, найти матрицу оператора в базисе и координаты образа вектора .

12.2. Собственные векторы и собственные значения

линейного оператора

Определение 4. Квадратные матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая, что

.

Теорема 2. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), - линейный оператор в , - матрица оператора в (I), - матрица оператора в (II). Тогда

.

Это утверждение примем без доказательства.

Пусть . Матрица , где - единичная матрица порядка , а - произвольное вещественное число, называется характеристической матрицей для . Она имеет вид

.

Определитель - некоторый многочлен порядка относительно .

Определение 5. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни - характеристическими корнями матрицы .

Теорема 3. Подобные матрицы имеют одинаковый набор характеристических корней.

Доказательство. Пусть , - невырожденная матрица. Имеем

.

Характеристические многочлены матриц В и С совпадают, следовательно, совпадают и характеристические корни.

Теорема доказана.

Следствие. Матрицы, задающие линейный оператор в различных базисах, имеют один набор характеристических корней (теорема 2 + теорема 3).

Определение 6. Характеристические корни матрицы линейного оператора (в любом базисе) называются характеристическими корнями линейного оператора.

Определение 7. Весь набор характеристических корней называется спектром оператора.

Определение 8. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в . Вектор называется собственным вектором оператора , если найдется действительное число такое, что

.

Число называется собственным значением, соответствующим данному собственному вектору .

Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.

Теорема 4. Действительные характеристические корни линейного оператора, если они существуют, и только они, служат собственными значениями линейного оператора.

Пример 5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора зеркального отражения относительно оси .

Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2: .

Составим характеристическое уравнение:

,

откуда и , .

Числа , - характеристические корни линейного оператора (в соответствии с определением 6), они действительны и, согласно теореме 4, являются собственными значениями. Найдем соответствующие им собственные векторы.

По определению собственного вектора , но , следовательно, ищем векторы, удовлетворяющие уравнению , или , или

. (12.3)

При имеем . Подставим ее в (12.3):

,

что равносильно системе уравнений

(12.4)

откуда , и решением системы (12.4) являются все векторы вида

,

- произвольное вещественное число, отличное от нуля.

При получаем , подставляем в (12.3):

,

получаем систему уравнений

откуда , - произвольное вещественное число, отличное от нуля.

Г еометрически это означает, что любой ненулевой вектор, приложенный к началу координат с концом на оси , является собственным, отвечающим собственному значению (действие на него оператора сводится к умножению его на , а любой ненулевой вектор с концом на оси является собственным, отвечающим собственному значению (т.е. действие оператора на этот вектор заключается в умножении его на (рис. 12.5)).

Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - линейный оператор проектирования на ось . Найти все его собственные числа и собственные векторы.

12.3. Приведение матрицы линейного оператора

к диагональному виду путем перехода к новому базису

Линейный оператор задается в базисе (I) диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все векторы базиса (I) - собственные.

Действительно, пусть (I) - собственные векторы, отвечающие собственным значениям соответственно, т.е.

,

,

………………. (12.5)

.

Из равенств (12.5) следует справедливость разложений по базису (I):

,

,

…………………………………….

,

и по определению матрицы оператора (определение 3) имеем

, (12.6)

т.е. матрица оператора в (I) - диагональная (по диагонали стоят собственные значения).

Обратно. Пусть - матрица оператора в базисе (I) имеет диагональный вид (12.6), следовательно, ,…, и, таким образом, векторы - собственные с собственными значениями .

Вопрос о том, можно ли линейный оператор задать в некотором базисе диагональной матрицей, равносилен вопросу о том, существует ли для данного оператора базис, состоящий из собственных векторов.

Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , - собственные векторы оператора , отвечающие собственным значениям . Если , то - линейно независимы.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу векторов .

При имеем один вектор (по определению собственный вектор отличен от нулевого), вектор составляет линейно независимую систему.

Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякая система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, является линейно независимой.

Пусть имеется система собственных векторов , относящихся к различным собственным значениям ( ).

Предположим, система линейно зависима, т.е. найдутся числа , не все равные нулю, такие, что выполняется равенство

. (12.7)

Не ограничивая общности рассуждений, можем считать, что (иначе перенумеруем векторы).

Применим к обеим частям равенства (12.7) оператор :

.

Из последнего равенства получим

. (12.8)

Обе части равенства (12.7), умноженные на , вычтем почленно из обеих частей (12.8), получим

. (12.9)

Равенство (12.9) означает, что векторы линейно зависимы (их линейная комбинация с коэффициентами, не равными одновременно нулю, например, коэффициент при отличен от нуля, равна ), но это противоречит предположению индукции: векторы собственные, относящиеся к различным собственным значениям. Следовательно, - линейно независимы, и утверждение теоремы справедливо при любом . Теорема доказана.

Определение 9. Линейный оператор называется линейным оператором с простым спектром, если все его характеристические корни действительны и различны.

Теорема 6. Всякий линейный оператор с простым спектром может быть задан диагональной матрицей.

Доказательство. Пусть - линейное пространство, , - линейный оператор в , имеет простой спектр. Тогда характеристических корней . Пусть это числа , в силу теоремы 4 - собственные значения оператора .

Пусть - соответствующие этим собственным значениям собственные векторы, тогда согласно теореме 5 линейно независимы, и так как , - базис. В этом базисе, как было отмечено выше, матрица оператора имеет вид

и является диагональной матрицей.

Теорема доказана.

Пример 6. Линейный оператор задан своей матрицей в некотором базисе. Выяснить, существует ли для данного оператора базис, в котором его матрица имеет диагональный вид. В случае положительного ответа найти этот базис и соответствующую ему матрицу .

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

,

,

откуда , - характеристические корни оператора . Они вещественны и различны, следовательно, согласно теореме 6 для оператора существует базис, состоящий из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора имеет вид

.

Находим собственные векторы.

При имеем

,

или . Все ненулевые векторы вида являются собственными с собственным значением .

При имеем

,

или . Все ненулевые векторы вида - собственные с собственным значением .

Полагаем , имеем , .

В базисе матрица оператора имеет вид .

Лекция 13

Евклидовы пространства

Определение евклидова пространства. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Шмидта

13.1. Понятие евклидова пространства

Определение 1. Евклидовым пространством называется n-мерное линейное пространство, в котором каждой паре векторов поставлено в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением векторов и (это число обозначим ), причем выполняются следующие аксиомы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Замечание. Аксиомы 2 и 3 справедливы также в форме 2’: и форме 3’: .

Пример 1. Пусть - линейное пространство геометрических векторов, скалярное произведение определено равенством

. (13.1)

Аксиомы 1 - 4 выполняются (см. алгебраические свойства скалярного произведения, доказанные в Лекции 2), следовательно, со скалярным произведением, определенным равенством (13.1), является евклидовым пространством.

Пример 2. В линейном пространстве арифметических векторов формула

, (13.2)

где , , задает скалярное произведение. Докажем это. Проверим выполнение аксиом 1 - 4. Поскольку компоненты - вещественные числа, имеем

следовательно, аксиома I выполняется.

Пусть . По определению сложения в . Имеем

,

аксиома 2 справедлива.

Пусть - произвольное вещественное число. По определению умножения вектора на число в

.

Далее имеем

,

аксиома 3 выполняется.

Проверим выполнение аксиомы 4:

Если , то среди компонент вектора найдется , , тогда и , следовательно, аксиома 4 выполняется.

Таким образом, линейное пространство арифметических векторов со скалярным произведением (13.2) является евклидовым пространством.

В любом евклидовом пространстве справедливы следствия из аксиом 1 - 4:

а) ;

б) если , , то

Доказательство следствий проведите самостоятельно.

Определение 2. Нормой вектора называется число, равное .

Обозначим норму . Норма - аналог длины вектора, определенной для геометрических векторов.

Угол между векторами и в евклидовом пространстве определяется равенством

. (13.3)

Покажем, что угол действительно можно определить равенством (13.3), т.е. покажем, что

.

Теорема 1 (неравенство Коши - Буняковского). Для любого и любого справедливо неравенство

. (13.4)

Доказательство. Пусть - произвольное вещественное число. Положим . Тогда по аксиоме 4 имеем

.

Воспользуемся аксиомами 1 - 3:

.

Так как , то дискриминант квадратного трехчлена неположителен:

.

Отсюда или , и неравенство (13.4) выполняется.

Теорема доказана.

13.2. Ортогональные и ортонормированные

базисы в

Определение 3. Пусть - евклидово пространство, , . Векторы и называются ортогональными, если

.

Определение 4. Система векторов называется ортогональной системой векторов в евклидовом пространстве , если при .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. В евклидовом пространстве всякая система ненулевых ортогональных векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть - произвольная ортогональная система векторов в ; .

Пусть

. (13.5)

Умножим обе части (13.5) скалярно на :

. (13.6)

Поскольку система векторов ортогональна, то верны равенства ,…, ; следствие а) из аксиом дает ; согласно аксиоме 4 . Тогда из равенства (13.6) получим .

Аналогично, скалярно умножая (13.5) последовательно на , получим , следовательно, система линейно независима.

Теорема доказана.

Опишем процесс построения ортогонального базиса в линейной оболочке любых линейно независимых векторов.

Пусть линейно независимы.

Шаг 1. Примем .

Шаг 2. Примем . Отметим, что , так как является линейной комбинацией и , причем и линейно независимы (линейная комбинация векторов и с коэффициентами, один из которых, а именно коэффициент при , заведомо отличен от нуля, не может равняться ).

Подберем так, чтобы :

и .

Шаг 3. Примем . Отметим, что , так как является линейной комбинацией , и , а эти векторы линейно независимы. Подберем и так, чтобы и .

Отсюда

, .

Шаг 4. Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов , причем , является линейной комбинацией векторов . Положим

.

Вектор , так как является линейной комбинацией линейно независимых векторов с коэффициентами, один из которых, а именно коэффициент при , заведомо отличен от нуля (поскольку не входит в ).

Коэффициенты подберем так, чтобы был ортогонален векторам :

.

Отсюда

и

, .

Продолжая процесс, построим ортогональную систему векторов , причем , , откуда в силу теоремы 2 следует, что линейно независимы. Линейная оболочка векторов является подпространством размерности ( ), а это означает, что - базис в (по построению - ортогональный).

Описанный выше процесс носит название процесса ортогонализации Шмидта.

Пример 3. - евклидово пространство геометрических векторов. Применяя процесс ортогонализации Шмидта, построить ортогональный базис в подпространстве, натянутом на векторы и .

Полагаем

, .

Подбираем :

,

о ткуда .

Итак, , и базис в линейной оболочке составляют векторы , .

Геометрический смысл процедуры иллюстрирует рис. 13.1. Подпространство , натянутое на векторы , - плоскость, проходящая через и векторы и , приведенные к точке . В этой плоскости построен базис , такой, что .

Замечание. Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами.

Действительно, пусть - евклидово пространство, , - базис в . Применим к базису процесс ортогонализации Шмидта, получим некоторый ортогональный базис в .

Определение 5. Вектор называется нормированным, если .

Если , то нормированием называется переход к вектору ( является нормированным, так как и, следовательно, ).

Определение 6. Система векторов в евклидовом пространстве называется ортонормированной системой, если

Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базисами.

В самом деле, ранее было показано, что всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами. Возьмем в произвольный ортогональный базис и нормируем все его векторы, т.е. перейдем к системе векторов

. (13.7)

Система (13.7) - ортонормированный базис в .

Пример 4. - евклидово пространство геометрических векторов. Указать какой-нибудь ортонормированный базис в линейной оболочке векторов и .

В примере 3 был построен ортогональный базис , в .

Имеем

, ,

, .

Векторы - ортонормированный базис в .

Теорема 3. Пусть - евклидово пространство, (I) – базис в . Базис является ортонормированным тогда и только тогда, когда для любых векторов , , , скалярное произведение выражается равенством

.

Доказательство. Необходимость. Пусть базис (I) – ортонормированный, т.е.

Тогда .

Но во внутренней сумме всего одно слагаемое отлично от нуля при ( ). Таким образом, .

Достаточность. Пусть базис (I) таков, что , . Для векторов базиса справедливы разложения

,

.

В силу этих разложений получим , , – и базис (I) – ортонормированный.

13.3. Линейные операторы в евклидовом пространстве

Определение 7. Квадратная матрица называется ортогональной, если

.

Пример 5. В линейном пространстве всех геометрических векторов плоскости матрица линейного оператора поворота на угол против часовой стрелки имеет вид

.

Для нее , и, следовательно, - ортогональная матрица.

Отметим некоторые свойства ортогональной матрицы.

Утверждение 1. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда ее столбцы составляют ортонормированную систему арифметических векторов.

Доказательство. Необходимость. Пусть , , ортогональна.

Имеем

, .

В соответствии с правилом умножения матриц , , где

. (13.8)

Так как ортогональна, то , и, следовательно,

(13.9)

Равенства (13.8) и (13.9) означают, что строки матрицы , рассматриваемые как арифметические n-мерные векторы, составляют ортонормированную систему, необходимость тем самым доказана.

Достаточность. Пусть строки матрицы составляют ортонормированную систему арифметических векторов. Тогда в соответствии с введенными выше обозначениями (см. (13.8))

Но это означает, что и, следовательно, (в силу единственности обратной матрицы) и ортогональна.

Утверждение 2. Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства к любому другому его ортонормированному базису является ортогональной.

Доказательство. Пусть (I) и (II) – два ортонормированных базиса в . , , - матрица перехода от (I) к (II).

В соответствии с определением матрицы перехода от базиса к базису справедливо равенство

,

или

, . (13.10)

Так как (II) – ортонормированный базис, то

Используя (13.10), получаем

а это означает, что столбцы матрицы составляют ортонормированную систему. Привлекая утверждение I, заключаем, что - ортогональная матрица.

Определение 8. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется ортогональным, если

(оператор сохраняет норму любого вектора).

Пример 6. Евклидово пространство - пространство всех геометрических векторов плоскости, скалярное произведение введено равенством , - оператор поворота на угол против хода часовой стрелки. Оператор - ортогональный.

В самом деле, оператор - линейный, так как из геометрических соображений ясно, что - действительного числа , . А так как при повороте длина любого вектора сохраняется, то - ортогональный оператор.

Теорема 4. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда

( сохраняет скалярное произведение).

Доказательство. Пусть , , рассмотрим .

Имеем

. (13.11)

С другой стороны,

. (13.12)

Сравнивая (13.11) и (13.12) заключаем, что .

Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис, - ортогональный оператор в . Тогда система векторов (II) - ортонормированный базис.

Доказательство. Имеем

и, следовательно, - ортонормированная система. Но тогда , и по теореме 2 система (II) линейно независима, а так как , (II) – базис, и по доказанному – ортонормированный.

Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда в любом ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей.

Доказательство. Пусть (I) – произвольный ортонормированный базис в . Тогда система векторов (II) – тоже ортонормированный базис (теорема 5).

Пусть - матрица оператора в базисе (I).

В соответствии с определением матрицы оператора (определение 3 в лекции 12) справедливо следующее равенство:

и, следовательно, матрица является матрицей перехода от базиса (I) к базису (II) (см. равенства (11.1) в лекции 11). Тогда в силу доказанного выше утверждения 2 матрица является ортогональной.

Теорема доказана.

Определение 9. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется самосопряженным (симметрическим), если

.

Пример 7. Пусть - произвольное евклидово пространство, - тождественный оператор, т.е. .

Имеем , следовательно, симметрический.

Пример 8. Пусть - произвольное евклидово пространство, - некоторое действительное число. Положим .

Справедливо равенство

,

и, следовательно, - симметрический.

Отметим некоторые свойства симметрического оператора.

Определение 10. Матрица , , называется симметрической, если .

Теорема 7. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис в , - симметрический оператор в . Тогда матрица оператора в (I) симметрическая.

Доказательство. Пусть , - матрица оператора в (I). В соответствии с определением матрицы оператора справедливы следующие равенства:

,

,

…………………………………….. ... (13.13)

.

Воспользовавшись соотношениями (13.13), получим

. (13.14)

. (13.15)

Так как - симметрический оператор, .

Сравнивая (13.14) и (13.15), находим, что , и матрица - симметрическая.

Теорема доказана.

Теорема 8. Если линейный оператор , определенный в евклидовом пространстве , задается хотя бы в одном ортонормированном базисе симметрической матрицей, оператор - симметрический.

Доказательство. Пусть - линейный оператор в евклидовом пространстве , (I) – произвольный ортонормированный базис в , , - матрица оператора в базисе (I) (т.е. справедливы равенства (13.13)), - симметрическая, или .

Пусть , . Так как (I) – базис, найдутся числа и такие, что , .

Имеем

, (13.16)

. (13.17)

Используя равенства (13.16) и (13.17) и условие, что (I) – ортонормированный базис, получим

,

.

Так как симметрическая, и , а это означает, что оператор симметрический.

Теорема доказана.

Приведем без доказательства еще одно свойство самосопряженного оператора.

Теорема 9. Пусть - евклидово пространство, - линейный оператор в . Оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда в существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора .

Пример 9. Линейный оператор , определенный в евклидовом пространстве , задан в некотором ортонормированном базисе матрицей . Выяснить, существует ли для этого оператора базис, в котором его матрица диагональна.

Так как - симметрическая матрица (в ортонормированном базисе), оператор симметрический (теорема 8), а тогда по теореме 9 для него существует базис, состоящий из собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональна (лекция 12, § 12.3).

Лекция 14

Квадратичные формы

Определение квадратичной формы. Линейное преобразование неизвестных. Ранг формы. Основная теорема о квадратичных формах. Положительно определенные формы. Критерий Сильвестра. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

14.1. Приведение квадратичной формы

к каноническому виду

Определение 1. Квадратичной формой от неизвестных называется сумма вида

, (14.1)

или развернуто

. (14.2)

Матрица , называется матрицей квадратичной формы (14.1), а ее ранг – рангом формы (14.1).

Если ранг формы равен , форма называется невырожденной (в этом случае ранг матрицы равен и матрица невырожденная).

В (14.2) , , , поэтому коэффициент при слагаемом можно обозначить , т.е. допустить, что .

Ввиду последнего равенства - симметрическая матрица.

Запишем квадратичную форму (14.1) в матричном виде. Пусть , тогда и

. (14.3)

Действительно, по определению умножения матриц имеем

Далее находим

и равенство (14.3) выполняется.

Определение 2. Линейным преобразованием неизвестных называется такой переход от системы неизвестных к системе неизвестных , при котором старые неизвестные выражаются через новые линейно с некоторыми коэффициентами:

(14.4)

Линейное преобразование (14.4) однозначно определяется матрицей из коэффициентов , .

Систему равенств (14.4) можно записать в матричном виде

. (14.5)

Определение 3. Линейное преобразование неизвестных с матрицей называется невырожденным, если - невырожденная матрица.

Теорема 1. Пусть вслед за линейным преобразованием (14.4) с матрицей выполняется линейное преобразование с матрицей , , . Результирующее преобразование будет линейным с матрицей .

Доказательство. По условию

(14.6)

Подставив в (14.4) выражения для , , из (14.6), получим линейные выражения для через , т.е. результат последовательного выполнения двух линейных преобразований неизвестных является линейным преобразованием.

Далее имеем , . Таким образом, результирующее преобразование имеет матрицей .

Пример 1. Вслед за линейным преобразованием

выполняется линейное преобразование

Найти матрицу результирующего преобразования и выписать выражения через .

Решение. Имеем , , где

, .

По теореме 1 матрица результирующего преобразования

,

и, таким образом,

Утверждение 1. Для любых двух матриц А и В

.

Доказательство. Пусть

, .

Обозначим , , , . По определению произведения матриц .

Обозначим . По определению транспонированной матрицы .

Обозначим . Элемент равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца = сумме произведений элементов -го столбца на соответствующие элементы -й строки , и приходим к равенству .

Таким образом, , т.е. .

Теорема 2. Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей .

Доказательство. Пусть

(14.7)

и , , .

В соответствии с утверждением 1 . Подставим и в (14.7):

.

Матрица симметрическая, так как

.

Таким образом, преобразовалась в квадратичную форму от неизвестных с матрицей .

Докажем два вспомогательных утверждения.

Утверждение 2. Ранг произведения матриц не выше ранга сомножителей.

Доказательство. Достаточно провести доказательство для двух сомножителей.

Пусть , , , .

По определению произведения двух матриц

, , (14.8)

,

,

……………………………….

,

или

,

т.е. k-й столбец матрицы является линейной комбинацией столбцов матрицы с коэффициентами и система столбцов матрицы линейно выражается через систему столбцов матрицы , следовательно, .

По определению произведения матриц .

Аналогично, фиксируя в (14.8) и придавая значения , получаем, что -я строка является линейной комбинацией строк матрицы и .

Утверждение 2 доказано.

Утверждение 3. Ранг произведения произвольной матрицы на невырожденную квадратную матрицу слева или справа равен рангу .

Доказательство. Пусть . В соответствии с утверждением 2 .

Умножим последнее равенство на справа: и опять воспользуемся леммой 2: . Отсюда .

Следствие из теоремы 2. Ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного линейного преобразования неизвестных.

Доказательство. Пусть - матрица квадратичной формы , - матрица некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных, - матрица квадратичной формы после выполнения преобразования .

По теореме 2 , а в силу утверждения 3 ( ).

Определение 4. Каноническим видом квадратичной формы называют сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами.

Замечание. Число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы равно рангу формы.

В самом деле, пусть квадратичная форма

(14.9)

приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к каноническому виду

, (14.10)

где - новые неизвестные.

Пусть - матрица квадратичной формы (14.9), , , , - матрица квадратичной формы (14.10).

Матрица имеет следующий вид: .

Согласно следствию из теоремы 2 . Утверждение, что , означает, что в матрице на диагонали ровно элементов отличны от нуля, тогда в каноническом виде (14.10) ровно слагаемых с коэффициентами, отличными от нуля.

Теорема 3 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу неизвестных.

При имеем , т.е. - канонического вида.

Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякую квадратичную форму от неизвестного можно привести к каноническому виду некоторым невырожденным линейным преобразованием и пусть

-

квадратичная форма от неизвестных .

Случай 1. В форме присутствует квадрат хотя бы одного неизвестного. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что (в противном случае можно заново перенумеровать неизвестные). Тогда можно записать в виде

. (14.11)

Действительно,

,

и в первое слагаемое в (14.11) вошли все члены формы , содержащие неизвестное ; для того, чтобы (14.11) было справедливо, пришлось добавить, а затем вычесть несколько слагаемых, не содержащих , поэтому в (14.11) - некоторая квадратичная форма от неизвестных .

От неизвестных перейдем к по формулам

(14.12)

или в матричной записи: , где

.

Матрица невырожденная, так как , следовательно, и .

Невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит форму к виду

. (14.13)

Квадратичная форма - форма от -го неизвестного и по предположению индукции найдется невырожденное линейное преобразование неизвестных , приводящее ее к каноническому виду . Пусть это преобразование с матрицей , :

( - невырожденная матрица и ).

Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных :

(14.14)

или в матричной записи , где

.

Линейное преобразование (14.14) невырожденное, так как и приводит квадратичную форму (14.13) к виду

(14.15)

Последовательное выполнение линейных преобразований (14.12) и (14.14) является линейным преобразованием и имеет матрицей (теорема 1). Оно будет невырожденным, так как . Линейное преобразование приводит квадратичную форму к каноническому виду (14.15).

Утверждение теоремы в случае 1 доказано.

Случай 2. Квадратичная форма не содержит ни одного квадрата неизвестного ( ).

Совершим невырожденное линейное преобразование, приводящее к появлению квадратов неизвестных. Пусть, например, :

. (14.16)

Положим

или

.

Линейное преобразование невырожденное, так как , оно приведет квадратичную форму (14.16) к виду

,

появились квадраты неизвестных и , свели к уже рассмотренному случаю 1. Теорема 3 полностью доказана.

Пример 2. Квадратичную форму

привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.

Решение. Соберем все слагаемые, содержащие неизвестное , и дополним их до полного квадрата

.

(Так как .)

Положим

(14.17)

и от неизвестных форма примет вид .

Далее положим (14.18)

и от неизвестных форма примет уже канонический вид

. (14.19)

Разрешим равенства (14.17) относительно :

Последовательное выполнение линейных преобразований и , где

, ,

имеет матрицей

.

Линейное преобразование неизвестных приводит квадратичную форму к каноническому виду (14.19).

14.2. Положительно определенные квадратичные формы

Определение 5. Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов неизвестных с коэффициентами «+!» или « ».

Теорема 4. Всякую квадратичную форму можно привести некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к нормальному виду.

Доказательство. Пусть - квадратичная форма ранга . Следовательно, - линейное преобразование неизвестных, приводящее к виду

, (14.20)

где , (теорема 3 и следствие из теоремы 2).

Положим

(14.21)

Равенства (14.21) можно записать в виде следующего матричного равенства:

,

где - невырожденная матрица (так как ), следовательно, существует и равенство можно разрешить относительно : .

Последовательное выполнение линейных преобразований и является линейным преобразованием с матрицей (теорема 1); линейное преобразование приводит квадратичную форму к нормальному виду

.

Теорема 4 доказана.

Определение 6. Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, содержащему n квадратов неизвестных с коэффициентами «+1»:

Теорема 5. Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда при любых значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма принимает положительные значения.

Доказательство. Пусть положительно определена, т.е. приводится некоторым невырожденным линейным преобразованием к виду

.

Так как - невырожденная матрица, и . Пусть , , тогда

(14.22)

Пусть - набор неизвестных, среди которых хотя бы одно отлично от нуля. Следовательно, в равенствах (14.22) среди соответствующих значений найдется . Действительно, допустим, . Тогда система линейных алгебраических уравнений

с определителем имеет единственное решение , а по условию хотя бы одно из неизвестных , , отлично от нуля, получили противоречие и, следовательно, среди , , есть . Тогда (так как ).

Обратно. Пусть . Допустим, что не является положительно определенной, - это означает, что в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием , либо отсутствует квадрат хотя бы одного неизвестного, либо входит с коэффициентом . Пусть это неизвестное . Тогда , либо .

Рассмотрим следующий набор неизвестных :

, . (14.23)

Пусть неизвестные , , связаны с , , равенствами (14.22). Набор неизвестных , соответствующий (14.23), найдем из системы уравнений

(14.24)

Пусть - решение системы (14.24), следовательно, , так как если , не удовлетворяется, например, последнее уравнение в (14.24).

Имеем

и, таким образом, , получили противоречие, и, значит, нормальный вид квадратичной формы содержит квадратов неизвестных с коэффициентами +1 и является положительно определенной формой.

Теорема 5 доказана.

Определение 7. Пусть , , . Миноры , , , …, называются главными минорами квадратичной формы .

Сформулируем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 6 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры строго положительны.

Пример 3. Определить, является ли положительно определенной квадратичная форма .

Решение. Составим матрицу квадратичной формы

Главные миноры формы , , , согласно критерию Сильвестра форма не является положительно определенной.

14.3. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Пусть на плоскости задана декартова система координат (декартов базис , и точка О – начало координат). Рассмотрим общее уравнение 2-го порядка:

. (14.25)

Обозначим через сумму старших слагаемых:

и рассмотрим квадратичную форму

.

Ее матрица симметрическая.

Пусть - произвольное евклидово пространство, , - линейный оператор в с матрицей в базисе , , следовательно, - самосопряженный оператор в . Тогда существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора (см. лекцию 13, § 13.3, теорема 9), в этом базисе матрица оператора диагональная и имеет вид , где - собственные значения (см. § 12.3).

Если матрица перехода от базиса , к базису , то (см. § 12.2).

Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных с матрицей : . Квадратичная форма от новых неизвестных имеет вид , где .

Итак, если - ортонормированный базис из собственных векторов оператора , матрица как матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному ортогональна ( ) , следовательно, матрица квадратичной формы от неизвестных диагональная и .

Такой способ приведения квадратичной формы к каноническому виду называется методом собственных векторов.

Пример 4. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом собственных векторов.

Матрица квадратичной формы имеет вид . Рассмотрим в произвольном евклидовом пространстве , , линейный оператор с матрицей в некотором ортонормированном базисе . Найдем его собственные векторы.

Характеристическое уравнение , , его корни , .

Имеем для : и , ;

для : и , .

Положим , и получим , .

В базисе , матрица оператора диагональная: . Нормируем векторы и : и , .

Матрица перехода от базиса , к базису , . Вернемся к квадратичной форме. Положим , т.е.

(14.26)

Тогда .

Замечание. Формулы (14.26) – формулы поворота осей координат на угол против хода часовой стрелки. Угол определяется соотношениями

, ( ).

В общем случае преобразование поворота

(14.27)

приведет линию (14.25) к виду

. (14.28)

Эта процедура называется приведением линии 2-го порядка к главным осям (из дальнейшего изложения будет ясно, что, если (14.25) – эллипс или гипербола, новые оси и параллельны главным осям кривой).

Коэффициенты и в уравнении (14.28) – характеристические числа матрицы и могут быть найдены как корни уравнения , или

. (14.29)

Обозначим , .

Имеем (действительно, из (14.29) находим , или , и по теореме Виета ).

Случай 1. (кривая эллиптического типа).

Преобразуем (14.28) следующим образом:

,

или, обозначив , придем к равенству

.

Положим (14.30)

и в новой системе координат имеем

. (14.31)

Формулы (14.30) – формулы параллельного переноса начала координат в точку .

Случай 1. а) Знак противоположен знаку (и, следовательно, знаку ). Тогда (14.31) определяет эллипс:

;

б) , уравнение (14.31) определяет одну точку: ;

в) Знаки и совпадают, нет точек (мнимый эллипс).

Случай 2. (кривая гиперболического типа).

В этом случае знаки и противоположны.

а) , уравнение (14.31) определяет гиперболу:

;

б) , уравнение (14.31) принимает вид:

.

Пусть , тогда и уравнение (14.31) можно переписать в следующем виде:

. (14.32)

Уравнение (14.32) определяет пару пересекающихся прямых: .

Случай 3. (кривая параболического типа).

Пусть для определенности (тогда ).

Уравнение (14.25) преобразованием (14.27) приводится к виду

. (14.33)

Пусть , тогда (14.33) можно переписать следующим образом:

.

Получим и

. (14.34)

Уравнение (14.34) определяет параболу.

Если же , то уравнение (14.33) перепишем в виде

.

Обозначив и положив , придем к уравнению

. (14.35)

а) , уравнение (14.35) определяет пару параллельных прямых: .

б) , уравнение (14.35) определяет пару совпадающих прямых: .

в) , нет точек (пара мнимых прямых).

Сведем полученные результаты в таблицу:

Кривая эллиптического типа		и разных знаков	Эллипс
		и одного знака	Мнимый эллипс
			Точка
Кривая гиперболического типа			Гипербола
			Пара пересекающихся прямых
Кривая параболического типа		и одного знака	Пара мнимых параллельных прямых
		и разных знаков	Пара параллельных прямых
			Пара совпадающих прямых
			Парабола

Пример 5. Определить вид и расположение кривой 2-го порядка

. (14.36)

Слагаемые 2-го порядка в (14.36) составляют квадратичную форму

,

которую преобразование неизвестных по формулам

(14.37)

приводит к сумме квадратов (пример 4).

Тогда уравнение кривой (14.36) преобразованием (14.37) приводится к виду

.

Здесь , и, следовательно, , кривая эллиптического типа.

Как в случае 1, соберем слагаемые, содержащие неизвестное и дополним их до полного квадрата, аналогично поступим со слагаемыми, содержащими :

, или

Положим и получим

. (14.38)

Уравнение (14.38) – уравнение эллипса с полуосями и центром в точке . Рис. 14.1 - схематический рисунок кривой.