Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

линал.docx

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2019

Размер:

3.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Метод элементарных преобразований

Определение 5. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) на вещественное число ;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Справедливо следующее утверждение, которое приводится без доказательства.

Теорема 3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Определение 6. Матрица размером имеет диагональную форму, если , кроме , , т.е.

Отметим, что , так как минор порядка , расположенный в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), отличен от нуля, а все миноры, окаймляющие его, равны нулю (они содержат столбец из нулей).

Утверждение. Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к диагональной форме.

Действительно, пусть

Если , то по определению 6 имеет диагональную форму.

Если , то, переставляя строки и столбцы, можно добиться того, что . Умножим все элементы первой строки на :

Первую строку, умноженную на , прибавим ко второй, умноженную на - к третьей,…, умноженную на - к -й. Таким образом, получим матрицу

Первый столбец, умноженный на , прибавим ко второму,..., умноженный на - к -му, получим

С матрицей, оставшейся в правом нижнем углу, совершим аналогичные преобразования. После конечного числа шагов придем к матрице диагонального вида.

Пример 6. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение. Договоримся об обозначениях. Запись будет означать, что матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований. При этом -ю строку исходной матрицы обозначим , а -ю строку преобразованной матрицы - . Для -х столбцов будем использовать соответственно обозначения , .

Матрица приобрела диагональную форму, .

Упражнение. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований:

Лекция 8

Системы линейных алгебраических уравнений

Первоначальные понятия. Метод Гаусса

8.1. Метод Гаусса

Пусть дана система уравнений первой степени (линейных) с неизвестными. Неизвестные обозначим , уравнения будем считать пронумерованными: первое, второе,…, -е. Коэффициент из -го уравнения при неизвестном обозначим , свободный член - .

Система запишется в следующем виде:

(8.1)

Определение 1. Решением системы линейных уравнений (8.1) называется такой набор чисел , что каждое из уравнений (8.1) обращается в тождество после замены неизвестных числами , .

Определение 2. Система (8.1) называется несовместной, если она не имеет решений, и совместной, если она имеет решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

Определение 4. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Наиболее удобным для практического разыскания решений системы (8.1) является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Выполним следующие преобразования системы: обе части одного уравнения умножим на некоторое число и прибавим к обеим частям другого уравнения. Покажем, что мы придем к эквивалентной системе.

Пусть обе части первого уравнения системы (8.1), умноженные на число , прибавляются к обеим частям второго уравнения. Получаем систему

(8.2)

где , …, , .

Пусть - решение системы (8.1). Это означает, что выполняются тождества:

(8.3)

Равенства (8.3) означают, что набор чисел удовлетворяет первому, третьему,…, -му уравнению системы (8.2). Удовлетворяют эти числа и второму уравнению, так как, если к обеим частям второго тождества в системе (8.3) прибавить обе части первого, умноженные на , получим

Таким образом, всякое решение системы (8.1) является решением системы (8.2).

Справедливо обратное. Пусть - решение системы (8.2), тогда

(8.4)

Тождества (8.4) означают, что набор чисел удовлетворяет первому, третьему,…, -му уравнению системы (8.1). Если к обеим частям второго тождества в (8.4) прибавить обе части первого, умноженные на , получим

то есть удовлетворяют также второму уравнению в (8.1), и всякое решение системы (8.2) является решением системы (8.1). Системы (8.1) и (8.2) в соответствии с определением 4 эквивалентны.

Перейдем к изложению метода Гаусса.

Дана система (8.1). Пусть (если это не так, возьмем в качестве первого любое другое уравнение с коэффициентом при , отличным от нуля, и перенумеруем уравнения; хотя бы одно такое уравнение найдется, иначе просто отсутствовал бы).

Обе части первого уравнения, умноженные на , прибавим к обеим частям второго уравнения, умноженные на , - к обеим частям третьего и т.д., умноженные на - к обеим частям -го уравнения. Придем к новой системе:

(8.5)

Система (8.5) эквивалентна системе (8.1).

Первое неизвестное исключили из всех уравнений системы, начиная со второго.

Уже после первого шага может встретиться уравнение вида

, . (8.6)

Если , этому уравнению удовлетворяет любой набор чисел . В этом случае уравнение будем отбрасывать. Если , уравнению (8.6) не удовлетворяет никакой набор чисел , и система, содержащая такое уравнение (8.6), несовместна, следовательно, несовместна и эквивалентная ей система (8.1). В этом случае преобразования по методу Гаусса будем прерывать.

Итак, имеем систему (8.5). Среди коэффициентов , , , есть отличные от нуля (иначе либо система несовместна, либо уравнения можно отбросить). Пусть для определенности (если , но отличен от нуля коэффициент при в другом уравнении, можно перенумеровать уравнения, если , можно перенумеровать неизвестные). Обе части второго уравнения, умноженные на , прибавим к обеим частям третьего уравнения и т.д., обе части второго уравнения, умноженные на , - к обеим частям -го уравнения. Этим исключим неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго, и придем к системе

Аналогичным образом продолжим процесс исключения неизвестных.

Если после нескольких шагов получим уравнение вида (8.6), в котором , можно сделать вывод о несовместности системы. Если же такое уравнение не встретится, придем к системе

(8.7)

эквивалентной системе (8.1). Здесь , , …, , .

При система (8.7) имеет вид

(8.8)

Из последнего уравнения найдем значение ( ), подставим в -е, найдем ( ) и т.д. до первого уравнения, из которого определится . Система (8.8) в этом случае имеет единственное решение и эквивалентная ей система (8.1) является определенной.

При в последнем уравнении системы (8.7) присвоим неизвестным произвольные числовые значения:

Из последнего, -го, уравнения системы (8.7) найдем ( ), подставим в -е уравнение, найдем и т.д., двигаясь снизу вверх по системе (8.7), найдем вполне определенные значения . Так как значения для неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, система (8.7) в случае будет неопределенной.

Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. Если в процессе преобразований встретится уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, система несовместна. Если такое уравнение не встретится, система совместна. Она является определенной, если приводится к треугольному виду (8.8), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (8.7).

Пример. Решить систему методом Гаусса:

Решение. Исключаем неизвестное . Первое уравнение, умноженное на , прибавляем ко второму, умноженное на , – к третьему и четвертому, получаем

Обе части второго уравнения умножаем на :

Второе уравнение, умноженное на , прибавляем к третьему, умноженное на , - к четвертому, получаем:

Обе части третьего уравнения, умноженные на , прибавляем к четвертому уравнению, получаем

Последнее уравнение отбрасываем, из третьего уравнения находим , подставляем во второе и находим . Затем и подставляем в первое уравнение , откуда .

Итак, , , - решение исходной системы, найденное методом Гаусса.

Лекция 9

Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений

Правило Крамера. Исследование произвольной системы

линейных алгебраических уравнений.

Системы линейных однородных уравнений.

Фундаментальная система решений

9.1. Правило Крамера

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

(9.1)

Обозначим , . будем называть определителем системы (9.1).

Обозначим , . Система (9.1) равносильна матричному уравнению

. (9.2)

Теорема 1. Если , то система (9.1) имеет, притом единственное, решение.

Доказательство. Так как , то . Умножим обе части (9.2) на слева:

Итак, решением матричного уравнения (9.2) является матрица - матричное уравнение (9.2) имеет решение, следовательно, система (9.1) совместна.

(9.3)

Решение системы (9.1) дается формулами (9.3), и так как , , вполне определенные числа, единственно.

Теорема доказана.

Правило Крамера: если , то решение системы (9.1) может быть найдено по формулам , , где - определитель, который получится из , если столбец коэффициентов при заменить столбцом свободных членов.

Пример 1. По правилу Крамера, если оно применимо, решить систему

Решение. Имеем

следовательно, правило Крамера применимо.

По формулам (9.3) находим

, , .

9.2. Исследование произвольной системы

линейных уравнений

Пусть дана система уравнений с неизвестными:

(9.4)

Обозначим матрицу из коэффициентов

Матрица содержит матрицу и еще столбец свободных членов, она называется расширенной матрицей по отношению к :

Теорема 2 (Кронекера - Капелли). Система совместна тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость. Пусть система (9.4) совместна и - решение (9.4), следовательно, справедливы тождества

(9.5)

В матрице к последнему столбцу прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на ,…, -й, умноженный на Получим, учитывая (9.5),

~ .

Поскольку выполнялись элементарные преобразования, то , но (добавление столбца из нулей не может изменить ранга), отсюда

Достаточность. Пусть . Это означает, что существует минор порядка , а все миноры порядка , окаймляющие , равны нулю.

Пусть расположен в левом верхнем углу матрицы (это предположение не ограничивает общности рассуждений, так как можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные и тем самым добиться того, что будет расположен в первых строках и первых столбцах матрицы ):

Тогда первые строк матрицы линейно независимы, а остальные строк являются их линейной комбинацией (теорема о базисном миноре), следовательно, через первые уравнений линейно выражаются остальные уравнений. Таким образом, вся система (9.4) эквивалентна первым уравнениям:

(9.6)

Случай 1: . Система (9.6) имеет единственное решение (определитель системы (9.6) , - применяем теорему 1). Его можно найти, например, по правилу Крамера.

Случай 2: . Перепишем (9.6) в виде

(9.7)

Неизвестные назовем главными, - свободными.

Присвоим свободным неизвестным произвольные числовые значения, положим . Тогда согласно теореме 1 из системы (9.7) определится единственный набор главных неизвестных. Таким образом, набор чисел , является решением системы (9.4).

Значения свободных неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, поэтому система (9.4) имеет бесчисленное множество решений.

И в случае 1, и в случае 2 система оказалась совместной. Достаточность доказана.

Определение 1. Формула, выражающая решение системы (9.4) в виде вектор-функции свободных неизвестных, называется общим решением системы (9.4):

Пример 2. Исследовать совместность системы и, если система совместна, найти общее решение и одно частное:

Решение. Найдем ранг матриц и :

~ ~

~ .

Итак, (минор второго порядка , все миноры, его окаймляющие, равны нулю и в , и в ). Следовательно, согласно теореме 2 система совместна.

Так как , система имеет бесчисленное множество решений.

Вся система эквивалентна системе первых двух уравнений:

В качестве главных неизвестных возьмем и ( ), свободных - и и перепишем систему в виде

"укороченная" система.

Отсюда

и .

Общее решение

Частное решение получим, присвоив конкретные числовые значения свободным неизвестным, например, , тогда

9.3. Системы линейных однородных

алгебраических уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

(9.8)

Система (9.8) всегда совместна (решение всегда присутствует среди решений).

Если , то это решение - единственное, если , система (9.8) имеет бесчисленное множество решений (и, следовательно, есть решения, отличные от ).

Теорема 3. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений (9.8) является решением системы (9.8).

Доказательство. Пусть и - произвольные решения системы (9.8).

Пусть - некоторое число, . Подставим

в -е уравнение системы (9.8):

удовлетворяет -му уравнению системы (9.8) при произвольном , , т.е. является решением (9.8).

Пусть - произвольное вещественное число, .

Подставим в -е уравнение системы (9.8), :

- решение (9.8).

Итак, сумма любых двух решений системы (9.8) и произведение любого решения на число являются решениями системы (9.8), следовательно, любая линейная комбинация решений системы (9.8) является решением.

Определение 2. Пусть дана система линейных однородных уравнений с n неизвестными и матрицей , . Пусть неизвестные являются свободными.

Обозначим через , , то единственное решение системы, которое получится, если неизвестному присвоить значение , а остальным свободным неизвестным - значение .

Система решений называется фундаментальной системой решений данной системы линейных однородных уравнений.

Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.

Теорема 4. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей , , и - фундаментальная система решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений .

Пример 3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы

(9.9)

Решение. Первое уравнение, умноженное на , прибавим ко второму:

Отсюда .

Общее решение

свободными являются неизвестные и , главными - и .

Векторы и составляют фундаментальную систему решений системы (9.9)

Последнее равенство можно проверить непосредственно.

Лекция 10

Линейные пространства

Аксиоматическое определение линейного

пространства. Базис и размерность

линейного пространства

10.1. Аксиоматическое определение

линейного пространства

Определение 1. Совокупность элементов произвольной природы называется линейным пространством, если для любых элементов и из установлено понятие суммы , а для любого элемента из и любого действительного числа установлено понятие произведения элемента на число , обозначаемое . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом: