5. Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона. Кровь как неньютоновская жидкость.

При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называют внутренним трением или вязкостью. Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластинками, из которых нижняя неподвижная, а верхняя движется со скоростью υk. Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1, 2, 3 и так далее. Слой "прилежащий'' ко дну неподвижен. По мере удаления от дна (нижняя пластинка) слои жидкости имеют все большие скорости (υ1 меньше υ2 меньше υ3 и тд.), максимальная скорость υк будет у слоя, который "прилежит" к верхней пластинке. Слои воздействуют друг на друга. Так, например. 1 -слои стремится ускорить движение второго, но сам не поддастся торможению с его стороны, а ускоряется четвертым слоем и так далее.

Ньютон показал, что сила внутреннего трения пропорциональна площади S взаимодействующих слоев и градиенту скорости между ними dυ/dx: Fтр = η(dυ/dx)*S. здесь η - коэффициент пропорциональности, называется коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью. Вязкость зависит от состояния и молекулярных свойств жидкости (или газа). Единица вязкости является паскаль - секунда (Па * с), в системе вязкость выражают в пуазах (П): 1 Па*с=10П.

Для многих жидкостей вязкость не зависит от градиента скорости, такие жидкости подчиняются уравнению Ньютона и их называют ньютоновскими жидкостями, жидкости не подчиняющиеся – ньютоновские. Вязкость ньютоновских жидкостей называется нормальной, а не ньютоновских -аномальнои. Жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например раствора полимеров и образующие благодаря сцеплению молекул пли частиц пространственную структуру, являются неньютоновскими. Их вязкость при прочих равных условиях много больше, чем у простых жидкостей Увеличение вязкости происходит потому, что при течении этих жидкостей работа внешней силы затрачивается не только на преодоление ньютоновской вязкости но и на разрушение структуры. Кровь является неньютоновской жидкостью, это суспензия форменных элементов в плазме В крупных состояниях образуются агрегаты эритроцитов В мелких сосудах градиент дυ/дх увеличивается и агрегаты распадаються. Для этих сосудов чем меньше d, тем меньше вязкость крови. В капиллярах эритроциты деформируются. S соприкосновения увеличивается, обменные процесс возрастают (при понижении температуры, вязкость возрастает, с 37 градусов до 17" больше 10%)

6. Течение вязкой жидкости по трубам. Уравнение Пуазейля. Гидравлическое сопротивление.

Л аминарное течение – упорядоченное течение жидкости, при котором она перемещается как бы слоями, параллельно направлению течения. Скорость в сечении трубы изменяется по параболическому закону (график распределения скоростей по поперечному сечению потока - параболоид вращения): V = V₀ (1 – Z²/R²), где R – радиус трубы, Z – расстояние от оси, V₀ – осевая (максимальная) скорость течения. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность трубопровода тонким неподвижным слоем. С увеличением скорости движения ламинарное течение переходит в турбулентное – происходит интенсивное перемещение между слоями жидкости, в потоке возникают многочисленные вихри различных размеров. Профиль осредненной скорости турбулентного течения в трубах отличается от параболического профиля более быстрым возрастанием скорости у стенок и уменьшением кривизной в центральной части течения. За исключением тонкого слоя около стенки, профиль скорости описывается логарифмическим законом. Течение описывается числом Рейнольса: Re = 2RVρ/η, где V – средняя скорость течения, R – радиус трубы, η – коэффициент вязкости. Re критическое = 2300. Re меньше Re критического – ламинарное. Re больше Re критического – турбулентное. Объемная скорость: Q = V/t, где V – объем, t – время через данное сечение. Линейная скорость: V = l/t, l – путь, t – время. Связь линейной и объемной скорости: Q = VS = постоянное (условие неразрывной струи), S – площадь поперечного сечения потока жидкости. Q = (P₁ – P₂) Пr⁴/8ηl – уравнение Пуазейля: секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки (градиенту давления в трубе) и четвёртой степени радиуса (диаметра) трубы, только для ламинарного течения: P₁ – P₂ – падение давления (на входе и выходе), W = 8ηl/ Пr⁴ – гидравлическое сопротивление сосуда. ∆P = QW, R_аор : R_ар : R_кап = 3000 : 500 : 1. W зависит от радиуса сосуда W = 1/R⁴, W_кап больше W_ар больше W_аор.

Вывод уравнения Пуазейля:

Уравнение, связывающее переменные υ и r, имеет следующий вид:

где P1 и P2 - давления в сечениях 1 и 2, μ – динамическая вязкость.

У стенок трубы величина r = R, , значит скорость υ = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной

Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой трубе. Так как распределения скоростей в круглой трубе имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, то расход жидкости численно равен объему этого параболоида. Определим этот объем.

Максимальная скорость дает высоту параболоида

Как известно из геометрии, объем параболоида высотой h и площадью ρR² равен

а в нашем случае

Закон Пуазейля показывает, что величина Q пропорциональна разнице давления P₁ - P₂ в начале и конце трубки. Если P₁ равняется P₂, поток жидкости прекращается. Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к снижению объемной скорости течения жидкости. Оно также показывает, что объемная скорость жидкости чрезвычайно зависима от радиуса трубки. Это подразумевает, что умеренные изменения радиуса кровеносных сосудов могут обеспечивать большие различия объемной скорости жидкости, протекающей через сосуд.

Формула закона Пуазейля упрощается и становится более универсальной при введении вспомогательной величины - гидродинамического сопротивления R, которое для цилиндрической трубки может быть определено по формуле:

Закон Пуазейля, таким образом, показывает, что объемная скорость жидкости прямо пропорциональна разнице давления в начале и конце трубки и обратно пропорциональна гидродинамическому сопротивлению: