27. Понятие поверхности. Способы аналитического задания поверхностей.
ПОВЕРХНОСТЬ, общая
часть двух смежных областей пространства.
В аналитической геометрии в пространстве
поверхности выражаются уравнениями,
связывающими координаты их точек, напр.
Ax + By + Cz + D = 0 — уравнение
плоскости, x2 + y2 + z2 = R2 —
уравнение сферы.
28. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Касательной
плоскостью
к поверхности в некоторой точке называется
плоскость, которая проходит через эту
точку перпендикулярно нормали к
поверхности в этой точке.
Нормалью к
поверхности
в некоторой ее точке называется прямая,
направляющий вектор которой является
нормальным к поверхности в этой точке
и которая проходит через эту точку.
Пусть в прямоугольной
декартовой системе координат oxyz заданна
поверхность z = f ( x , y ). Возьмем на
поверхности точку М и проведем через
эту точку всевозможные кривые лежащие
на поверхности к каждой из полученных
кривых проведем касательные в точке М.
Касательной плоскостью к пов-ти z = f ( x
, y ) в точке М наз плоскость в которой
лежат все касательные проведенные к
всевозможным кривым лежащим на поверхно
сти и проходящей через точку М. Нормалью
к поверхности наз вектор ⊥ касательной
плоскости в точке касания. Ес ли пов-сть
задана уравнением z = f ( x , y ) то вектор
нормали n имеет координаты n (∂ z /∂ х , ∂
z /∂у, -1). Пусть точка М имеет координаты
( x 0, y 0, z 0) возьмем на касательной плоскости
N с текущими координатами ( x , y , z ) тогда
MN будет лежать на плоскости и он будет
⊥ векто ру нормали n т.к. MN и n взаимно
перпендикулярны то их скалярное
произведение равно нулю.( MN , n )=0
