4. Условия существования тройного интеграла

Для тройного интеграла аналогично случаю двойного интеграла вводятся понятия нижней и верхней сумм Дарбу:

где , .

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие интегрируемости). Для того, чтобы ограниченная функция f(x;y;z) была интегрируема на замкнутой кубируемой области (V), необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости). Всякая непрерывная на замкнутой кубируемой области (V) функция интегрируема на ней.

Теорема 3 (необходимое условие интегрируемости). Если функция f(x;y;z) интегрируема на (V), то она ограничена на (V). (Обратное неверно.)

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

§2. Вычисление тройного интеграла

1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному

Пусть функция f(x;y;z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например Oz). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.

Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Пусть (P_z) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z=z₁(x;y), а верхняя – уравнением z=z₂(x;y), где z₁(x;y), z₂(x;y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (P_z). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (P_z):

Предположим теперь, что область (P_z) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает контур области (P_z) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (P_z). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси Oy входят в область (P_z), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y=y₁(x), вторая: y=y₁(x) (axb). В этом случае

,

то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

П орядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Р_у) - проекция на XOZ. Тогда

.

П ример 1. Вычислить , где (V) - тетраэдр, ограниченный плоскостями x=0, y=0, z=0 и x+y+z=1.

 Спроектируем тело на плоскость XOY. Проекция P - треугольник со сторонами x=0, y=0, x+y=1. Если x и y – фиксированные, то точка может перемещаться от плоскости z=0 (XOY) до плоскости x+y+z=1. Отсюда z=1-x-y. Итак, если (x;y)(V), то изменяется от 0 до . Следовательно, .

Сведем двойной интеграл к повторному.

Если - фиксировано (0х1) то может изменяться от прямой (ось Ох) до прямой y+x=1 (y=1-x). Следовательно,

. 

2. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Как и для двойного интеграла, для тройного интеграла имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат. Наиболее употребительные из них – цилиндрические и сферические.

I . Цилиндрические координаты

Пусть M₁ - проекция точки M на плоскость XOY, =OM₁- полярный радиус точки M₁, =xOM₁- полярный угол точки M₁, z – аппликата точки M. , , z называются цилиндрическими координатами точки M. . Обозначается M(;;z).

Связь с x, y, z: x=cos, y=sin, z=z.

Следовательно, преобразование тройного интеграла к цилиндрическим координатам происходит так же, как и преобразование двойного интеграла к полярным координатам.

Формула перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле:

.

Если положить f(x;y;z)=1 всюду в (V), то

- объем тела (V) в цилиндрических координатах.

В ыражение называется элементом объема в цилиндрических координатах.

Пример 2. Вычислить объем кругового цилиндра высоты H с радиусом основания R.

 Поместим начало системы координат в центр нижнего основания конуса. Тогда 0R, 0<2, 0zH.

.

(известная формула элементарной геометрии). 

П ример 3. Вычислить объем тела, ограниченного сферой и параболоидом .

 Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость XOY. Для этого из уравнений выразим и решим систему:

,

,

или - не удовлетворяет условию .

Следовательно, линией пересечения поверхностей является окружность , при этом .

Т.к. тело симметрично относительно плоскостей XOY и YOZ, то можно вычислить объем тела , лежащего в I октанте и умножить на 4. Тогда .

Так как проекция тела на плоскость XOY – круг, то следует перейти к цилиндрическим координатам: x=cos, y=sin, z=z.

Преобразуем уравнения границ:

,

.

Уравнения границы проекции: .

Итак, в области : . Следовательно,

=

. 

I I. Сферические координаты

Сферическими координатами точки называются: - расстояние от точки до начала координат, =xOM₁ - угол между Ox и проекцией отрезка на плоскость XOY, =zOM - угол между осью Oz и отрезком OM: М(r;;), r0, 0<2, 0.

Связь с прямоугольными координатами:

z=rcos (из zOM),

OM₁=rsin (из zOM, zM=OM₁),

x=OM₁cos  x=rsincos (из xOM₁),

y=OM₁sin  y=rsinsin (из xOM₁, xM₁=Oy).

Итак, x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos.

. (Вычислить самостоятельно.)

Формула перехода в тройном интеграле к сферическим координатам:

.

Если положим здесь f(x;y;z)=1 всюду в ( ), то получим

- объем тела (V) в сферических координатах.

Выражение называется элементом объема в сферических координатах.

П ример 4. Вычислить объем шара радиуса R.

 Поместим начало системы координат в центр шара. Тогда 0rR, 0<2, 0.

.

(известная из элементарной геометрии формула). 

36