
- •Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •I. Двойной интеграл
- •§1. Понятие двойного интеграла
- •1. Квадрируемые фигуры и их площади
- •2. Задача об объёме цилиндрического бруса
- •3. Определение двойного интеграла
- •4. Геометрический смысл двойного интеграла
- •5. Ограниченность интегрируемой функции
- •§2. Условия существования двойного интеграла
- •1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу
- •2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •3. Интегрируемость непрерывной функции
- •§3. Основные свойства двойного интеграла
- •§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •1. Повторные интегралы
- •2. Вычисление двойного интеграла
- •§5. Замена переменных в двойном интеграле
- •1. Отображение плоских областей
- •2. Площадь в криволинейных координатах
- •3. Замена переменной в двойном интеграле
- •4. Двойной интеграл в полярных координатах
- •§6. Приложения двойного интеграла
- •1. Площадь поверхности
- •2. Физические приложения двойного интеграла
- •II. Тройной интеграл
- •§1. Определение тройного интеграла и условия его существования
- •1. Кубируемое тело и его объем
- •2. Задача о вычислении массы тела
- •3. Определение тройного интеграла
- •4. Условия существования тройного интеграла
- •§2. Вычисление тройного интеграла
- •1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
- •2. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
4. Условия существования тройного интеграла
Для тройного интеграла аналогично случаю двойного интеграла вводятся понятия нижней и верхней сумм Дарбу:
где
,
.
Теорема 1
(необходимое
и достаточное условие интегрируемости).
Для того, чтобы ограниченная функция
f(x;y;z)
была интегрируема на замкнутой кубируемой
области (V),
необходимо и достаточно, чтобы
.
Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости). Всякая непрерывная на замкнутой кубируемой области (V) функция интегрируема на ней.
Теорема 3 (необходимое условие интегрируемости). Если функция f(x;y;z) интегрируема на (V), то она ограничена на (V). (Обратное неверно.)
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.
§2. Вычисление тройного интеграла
1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
Пусть функция f(x;y;z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например Oz). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.
Опишем около тела
(V)
цилиндрическую поверхность с образующей,
параллельной оси Oz.
Пусть (Pz)
- проекция тела (V)
на плоскость XOY.
Линия касания этой цилиндрической
поверхности с поверхностью (S)
разбивает (S)
на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть
нижняя часть поверхности задана
уравнением z=z1(x;y),
а верхняя – уравнением z=z2(x;y),
где z1(x;y),
z2(x;y)
- однозначные непрерывные функции,
заданные на (Pz).
Тогда
сводится к последовательному взятию
внутреннего интеграла по переменной z
(при постоянных x
и y)
и внешнего двойного интеграла по области
(Pz):
Предположим
теперь, что область (Pz)
тоже имеет простую форму, то есть любая
прямая, параллельная оси Oy,
пересекает контур области (Pz)
не более, чем в двух точках. Через a
и b
обозначим
абсциссы самой левой и самой правой
точек на контуре области (Pz).
Эти точки делят контур на две части, на
одной из которых прямые параллельные
оси Oy
входят в область (Pz),
а на другой – выходят. Каждая из этих
частей имеет свое уравнение. Первая:
y=y1(x),
вторая: y=y1(x)
(axb).
В этом случае
,
то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
П
орядок
интегрирования может быть другим. Для
этого тело (V)
надо проектировать на плоскость XOZ
или YOZ.
Например, спроектируем на XOZ,
(Ру)
- проекция на XOZ.
Тогда
.
П
ример
1. Вычислить
,
где (V)
- тетраэдр, ограниченный плоскостями
x=0,
y=0,
z=0
и x+y+z=1.
Спроектируем
тело на
плоскость XOY.
Проекция P
- треугольник со сторонами x=0,
y=0,
x+y=1.
Если x
и y
– фиксированные,
то точка может перемещаться от плоскости
z=0
(XOY)
до плоскости
x+y+z=1.
Отсюда
z=1-x-y.
Итак, если (x;y)(V),
то
изменяется от 0 до
.
Следовательно,
.
Сведем двойной интеграл к повторному.
Если
- фиксировано (0х1)
то
может изменяться от прямой
(ось Ох)
до прямой y+x=1
(y=1-x).
Следовательно,
.
2. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Как и для двойного интеграла, для тройного интеграла имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат. Наиболее употребительные из них – цилиндрические и сферические.
I
.
Цилиндрические координаты
Пусть M1
- проекция точки M
на плоскость XOY,
=OM1-
полярный радиус точки M1,
=xOM1-
полярный угол точки M1,
z
– аппликата точки M.
,
,
z
называются цилиндрическими
координатами точки
M.
.
Обозначается M(;;z).
Связь с x, y, z: x=cos, y=sin, z=z.
Следовательно, преобразование тройного интеграла к цилиндрическим координатам происходит так же, как и преобразование двойного интеграла к полярным координатам.
Формула перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле:
.
Если положить f(x;y;z)=1 всюду в (V), то
- объем тела (V)
в цилиндрических координатах.
В
ыражение
называется элементом объема в
цилиндрических координатах.
Пример 2. Вычислить объем кругового цилиндра высоты H с радиусом основания R.
Поместим начало системы координат в центр нижнего основания конуса. Тогда 0R, 0<2, 0zH.
.
(известная формула
элементарной геометрии).
П
ример
3. Вычислить
объем тела, ограниченного сферой
и параболоидом
.
Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость XOY. Для этого из уравнений выразим и решим систему:
,
,
или
- не удовлетворяет условию
.
Следовательно,
линией пересечения поверхностей является
окружность
,
при этом
.
Т.к.
тело симметрично относительно плоскостей
XOY
и YOZ,
то можно вычислить объем тела
,
лежащего в I
октанте и умножить на 4. Тогда
.
Так как проекция тела на плоскость XOY – круг, то следует перейти к цилиндрическим координатам: x=cos, y=sin, z=z.
Преобразуем уравнения границ:
,
.
Уравнения границы
проекции:
.
Итак, в области
:
.
Следовательно,
=
.
I
I.
Сферические координаты
Сферическими
координатами точки называются:
- расстояние от точки
до начала координат, =xOM1
- угол между Ox
и проекцией отрезка
на плоскость XOY,
=zOM
- угол между осью Oz
и отрезком OM:
М(r;;),
r0,
0<2,
0.
Связь с прямоугольными координатами:
z=rcos (из zOM),
OM1=rsin (из zOM, zM=OM1),
x=OM1cos x=rsincos (из xOM1),
y=OM1sin y=rsinsin (из xOM1, xM1=Oy).
Итак, x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos.
.
(Вычислить самостоятельно.)
Формула перехода в тройном интеграле к сферическим координатам:
.
Если положим здесь
f(x;y;z)=1
всюду в (
),
то получим
- объем тела (V)
в сферических координатах.
Выражение
называется элементом объема в сферических
координатах.
П
ример
4. Вычислить
объем шара радиуса R.
Поместим начало системы координат в центр шара. Тогда 0rR, 0<2, 0.
.
(известная из
элементарной геометрии формула).