8.Развертки

8.1. Общие понятия.

Если рассматривать поверхность как гибкую, нерастяжимую оболочку, то те поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, называются развертываемыми, а плоская фигура, которая при этом получается, называется разверткой. Поверхность и развертка – два точечных множества, между которыми существует взаимно-однозначное соответствие. Инвариантные свойства этого соответствия:

на поверхности и в развертке равны:

- длины линий;

- углы между линиями;

- площади, ограниченные соответствующими линиями;

- параллельные линии параллельны;

- геодезические(кратчайшие) линии на поверхности и в развертке соответствуют.

8.2. Прямой круговой конус Рис. 142

Развертка приближенная, точность π =3.14

8.3. Прямой круговой цилиндр Рис. 143

Развертка приближенная, точность π =3.14

8.4. Пирамида (способ треугольников) Рис. 144, 145

С помощью вращения вокруг оси i-i определяем натуральную величину ребер,

|SA|=S₁^IIA₁^II

|SB|= S₁^IIB₁^II

|SC|= S₁^IIC₁^II

Устанавливаем ребра параллельно π ₂ . При этом основание треугольника АВС, расположенное на π ₁ , является натуральным: АВС=А^IB^IC^I=|ABC|. При помощи геометрического метода засечек строим развертку.

8.5. Призма (способ нормального сечения) Рис. 146, 147

1. Определяем натуральную величину ребер призмы, используя замену

плоскостей проекций _Х π _{2 --> Х1} π ₄; O х₁|| B^IB^I₁

π ₁ π ₁

|AA₁|=A^IV A^IV₁

|BB₁|=B^IV B^IV₁

|СС₁|=С^IV С^IV₁

2. Строим нормальное (перпендикулярное ребрам) сечение призмы плоскостью α – MNL.

3. Определяем натуральную величину этого сечения, используя замену плоскостей проекций: _Х π _{4 --> Х1} π ₄; O х₂|| B^IV B^IV₁

π ₁ π ₅

|MNL|= M^V N^V L^V

4. Строим прямую нормального сечения M₀ N₀ L₀ M_0. От нее откладываем длины ребер, например А₀ М₀ и А₁₀ М₀ . Достраиваем (дважды) основания призмы А₀В₀С₀ и А₀₁В₀₁С₀₁

Тема №9.

9. Тени в ортогональных и аксонометрических проекциях

9.1. Общие положения.

Тени строят на чертежах строительных конструкций для придания большей наглядности и рельефности изображения. Рассматривается только геометрия теней. Физические свойства источника света не учитываются. Считается, что свет распространяется прямолинейно, параллельным потоком. Таким образом, построение теней это параллельное косоугольное проецирование, которому свойственны все инвариантные свойства параллельного проецирования. Рассмотрим пространственное тело, освещенное параллельным потоком световых лучей. Направление проецирования – s рис. 148

Здесь α – часть поверхности, находящаяся в свету;

β – часть поверхности, находящаяся в тени (собственная тень)

l – линия, разграничивающая α и β, называется контуром собственной тени;

π – поверхность, на которой образуется β^π - падающая тень от пространственного тела;

l^π - контур падающей тени – тень от контура собственной тени.

Основное правило при построении теней: контур падающей тени l^π есть тень от контура собственной тени l. Здесь l^π – параллельная проекция l при направлении проецирования s- диагонали куба, грани которого совпадают с плоскостями проекций π ₁ π ₂ π ₃ в левой системе плоскостей проекций Рис. 149. Используем фронтальную диметрическую проекцию, левую систему. Очевидно, что проекции луча s^I, s^II, s^III составляют 45^о с соответствующими координатными осями Рис. 150

Методом вращения можно определить наклон светового луча к плоскостям проекций: α^о=35^о15’54” Рис. 151

9.2.1. Тень от точки на плоскость проекций. Рис. 152

А_о – тень от точки А на плоскость проекций

А_о^I, А_о^II – горизонтальная и фронтальная проекции тени А_о.

Построение тени в аксонометрии Рис. 153

Тени А_о^II≡ А_о на верхней поле π ₂ и В_о^I ≡ В_о на передней поле π ₁ являются действительными. Ложные тени Рис. 154 располагаются: А_о1^I – на задней поле π ₁ или на нижней поле π _2.

9.2.2. Тень от точки на плоскую фигуру.

Тень от точки К на плоскость треугольника АВС является точка К_Т пересечения светового луча s, проходящего через эту точку в пространстве. Таким образом для решения задачи необходимо найти точку пересечения луча s c треугольником ABC Рис. 155. Решение подобной задачи на рис 78

9.2.3. Тень от точки на поверхность многогранника.

Задача сводится к построению точки пересечения светового луча с поверхностью многогранника. Рис. 156

9.3.1. Тень от прямой линии на плоскость проекций.

Для решения задачи необходимо построить тени от ее конечных точек Рис. 157. Если обе тени попадают на одну плоскость проекций, их необходимо соединить. Построение аксонометрии показано на Рис. 158

Если тени от конечных точек попадают на разные плоскости проекций рис. 163, для построения тени от прямой используется ложная тень от любой точки (например А_о1^I). Можно использовать так же любую промежуточную точку на прямой.

9.3.2. Тень от прямых частного положения.

9.3.2.1. Вертикальная прямая. Рис. 160

Из построения видно, что тень совпадает с направлением светового луча на π ₁ и параллельна прямой на π _2.

9.3.2.2. Прямая, перпендикулярная π _2. Рис. 161

Из построения видно, что тень совпадает с направлением светового луча на π ₂ и параллельно прямой на π _1.

9.3.3.1. Тень от плоской фигуры (треугольник АВС) Рис. 162

В зависимости от положения точек, ограничивающих фигуру, в пространстве тень может располагаться как на одной (и быть треугольником), так и на двух плоскостях проекций. В данном случае тени от точек А(А₀^I) и C(C₀^I) расположены на π _1. Тень от точки В(B₀^II) попадает на π _2. Для построения тени от треугольника АВС воспользуемся ложной тенью В_о1^I.

9.3.3.2. Тени от плоских фигур частного положения.

Прямоугольники, параллельные плоскостям проекций. Рис 163, 164

При построении теней воспользуемся правилом построения теней от прямых частного положения.

9.3.4. Тень от круга на плоскость проекций Рис 165

Аналогично 9.3.3.1 тень от круга, во-первых, если располагается на одной плоскости, будет кругом; во-вторых, может располагаться на двух плоскостях проекций.

В данном примере построения ведутся в следующем порядке:

1. Строим тень от центра круга С (С_о^I);

2. Из точки С_о^I ,как из центра, проводим окружность радиуса R, определяя таким образом границы тени на плоскости π ₁ (до точек 1_о^I и 2_о^I );

3.Находим горизонтальные 1I и 2I проекции этих точек;

4.На дуге 1^I-2^I берем произвольные точки 3^I, 4^I и 5^I , и строим тени от них;

5. Соединяем полученные тени 3_о^II 4_о^II 5_о^II с имеющимися 1_о^II и 2_о^II.

9.4. Тень от многогранника.Рис 166, 167

Построение собственной и падающей тени от многогранника сводится к определению собственных и падающих теней от плоских фигур - его граней.

9.5. Тени от поверхностей.

Для построения теней необходимо определить контур собственной тени, а затем построить тень от этого контура.

Тень от цилиндра. Рис. 168

Прямой круговой цилиндр, расположенный основанием на плоскости π ₁ , даёт падающую тень на плоскостях π ₁ и π ₂. Для построения падающей тени необходимо:

1. Провести проецирующие плоскости α и β, касательные к поверхности цилиндра;

2. Образующие MM и NN образуют контур собственной тени. Строим тени от этих образующих (см. 9.3.2.1.);

3. Поскольку верхнее основание цилиндра – окружность – дает тень на π _2., строим эту тень (9.3.4.).

9.6. Тень от конуса. Рис 169

Построение собственной и падающей тени от прямого кругового конуса, расположенного основанием на π ₁, сводится к определению тени от его вершины С. В данном примере:

1. Тень от С попадает на π _2. Для построения ее строим ложную тень С_о1^I (см 9.3.1.);

2. Проводим касательную к основанию конуса (С_о^I1_о^I и С_о^I3_о^I). Они определяют положение образующих конуса, являющихся контуром собственной тени конуса;

3. Соединяем точки 1_о^I и 3_о^I с ложной тенью С_о1^I, расположенной на задней поле π _1, и находим переломные точки 2_о^I и 4_о^I;

4. Линии 1_о^I2_о^IС_о^II и 3_о^I4_о^IC_о^II, а так же дуга 1_о^I3_о^I(меньшая) определяют контур падающей тени.

9.6. Тени в нишах.

Нишей называется углубление в стене строительного объекта.

9.6.1. Тени в плоской прямоугольной нише. Рис. 170

Строятся по общим правилам построения теней от точек и прямых.

9.6.2. Тени в полуциркульной нише. Рис. 171

Ниша является сочетанием прямоугольной ниши и полукруглого верха, описанного по радиусу R.

1. Находим тень от центра этого полукруга – точку С – Точку С₁^II;

2. Из С₁^II проводим окружность радиуса R;

3. Сочетание тени от прямоугольной части ниши и найденной полукруглой частью является искомой падающей тенью.

9.6.3. Тени в полуцилиндрической нише. Рис. 172

Порядок построения.

1. Для определения контура собственной тени цилиндрической поверхности к окружности ее горизонтальной поверхности проведем касательную, параллельную s^II;

2. Точка касания B^I определяет образующую цилиндра BB(B^IB^I, B^IIB^II), которая является границей собственной тени;

3. Падающую тень на π ₁ и π ₂ определяют вертикальное АА и горизонтальное AD ребра ниши;

4. Тень от А определяется как тень от точки на цилиндр;

5. Тень от AD определяется, как часть окружности радиуса R.

9.6.4. Тени в треугольной нише. Рис 173

Построение производится аналогично построениям в прямоугольной нише.(см. 9.6.1.)