Тема №5

5. Способы преобразования ортогональных проекций

5.1 Общие понятия

Произвольно расположенная в пространстве фигура, как правило, проецируется с искажением. Способы преобразования предназначены для изменения положения фигур и плоскостей проекций так, чтобы интересующие нас параметры проецировались без искажения.

1. Изменение положения фигуры (плоскопараллельное перемещение, вращение).

2. Изменение положения плоскостей проекций относительно фигуры.

3. Изменение направления проецирования (параллельное и центральное, криволинейное).

4. Специальные задачи, решаемые с помощью преобразования пространства (перспективно-афинные, гомологические, квадратичные).

5.2 Плоскопараллельное перемещение

Плоскопараллельное перемещение – это такое перемещение геометрической фигуры в пространстве, когда все ее точки двигаются в плоскостях, параллельных какой-либо плоскости проекций.

Рис. 95

На рисунке точка А двигается в плоскости α || π₁

Рис. 96

На рисунке точка В двигается в плоскости β || π₂

Основное правило плоскопараллельного перемещения

При перемещении фигуры в плоскостях, параллельных π₁ (π₂), координата z (y) точек не меняется, следовательно фронтальные (горизонтальные) проекции точек перемещаются по прямым, параллельным О_х, а горизонтальные (фронтальные) проекции объекта не меняют формы и размеров.

Пример плоскопараллельного перемещения отрезка АВ || π_2. Рис. 97

Задача. Определение натуральной величины плоской фигуры (Δ АВС) и угла наклона ее к плоскости проекций (π₁). Рис. 98

Алгоритм решения.

1. h ≡ (1 – C) э АВС => h^II || О_х

2. h₁^I ┴ О_х => А₁В₁С₁ ┴ π₂ (А^II₁В^II₁С^II₁ – прямая)

3. А^II₂В^II₂С^II₂ || О_х => А₂В₂С₂ || π₁ => А^I₂В^I₂С^I₂ = |АВС|

4. φ° = АВС^ π₁

5.3 Вращение вокруг осей, перпендикулярных плоскости проекций

Это частный случай плоскопараллельного перемещения: перемещение точек проходит в плоскостях, параллельных плоскостям проекций по окружности.

На рис. 99 ось вращения i┴π_1. Точка А вращается по окружности СА. Окружность проецируется на π₂ без искажения, на π₁ в прямую. Рис. 100

При вращении точки В вокруг оси i┴π₁ аналогично окружность проецируется на π₁ без искажения, на π₂ в прямую. Рис. 101

Поворот прямой АВ осуществлен вокруг i┴π_1, проходящая через точку А, чтобы преобразовать (Рис. 102) плоскость в проецирующую, выбираем ось (i┴π₁)^(i э π₂ ).

Чтобы определить расстояние от (.) Т до плоскости α, необходимо ее повернуть на тот же угол, что и плоскость. Так как плоскость α проецируется, расстояние Т₁^IIK₁^II = |ТК|. Рис. 103

5.4 Вращение вокруг осей, параллельных плоскостям проекций (вокруг линий уровня)

В случае вращения (.) А вокруг горизонтальной оси h || π₁. Плоскость, в которой вращается точка, α ┴ π_1. Рис. 104

Решение на эпюре представлено на рис. 105

Аналогично осуществляется вращение точки В вокруг фронтали f || π_2.

Рис. 106

Задача. Определить натуральную величину Δ АВС вращением вокруг горизонтали. Рис. 107

Алгоритм решения.

1. (А – 1) = h ≡ i ;

2. Находим центр вращения (.) В на h – точку О^I ;

3. Находим R радиус вращения (.) В вокруг оси (h_I ≡ i^I), отложив Δz под прямым углом к В^IО^I ;

4. Находим вращением по радиусу новое положение (.) В – В₁^I ;

5. Аналогично находим новое положение (.) С – С₁^I ;

6. Δ А^I₁В^I₁С^I₁ || π₁ => А^I₁В^I₁С^I₁ = |АВС|

5.5 Вращение вокруг осей, принадлежащих плоскостям проекций (совмещение)

Совмещение – это частный случай вращения вокруг горизонтали и фронтали. Фактически – вращение вокруг следа плоскости до совмещения ее с плоскостью проекций. Применяется для определения параметров плоских фигур, принадлежащих плоскостям.

Найдем совмещенное положение точки F, лежащей на следе f_0α плоскости α. Рис. 108. Вращаясь, эта точка будет описывать дугу окружности в плоскости β, перпендикулярной к оси вращения. Центр дуги лежит в Х _α. На пересечении дуги окружности и следа h_0β находим совмещенное положение точки F – F_1.

Правило нахождения совмещенного положения плоскости α и (.) А э α. Рис. 109.

1. На f_0α надо взять (.) F (F^I, F^II);

2. Из F^I опустить перпендикуляр к h_0α ;

3. Из Х_α , как из центра, провести дугу окружности радиусом (Х_α F^II);

4. Совмещенное положение (.) F – (.) F₁ находится на пересечении перпендикуляра и дуги;

5. Найти совмещенное положение горизонтали h₁ || h_0α ;

6. Из A^I опустить перпендикуляр к h_0α ;

7. Совмещенное положение (.) А – (.) А_1. находим на совмещенной горизонтали h_1. Аналогично совмещаем плоскость β Рис. 110 с π₂ и находим совмещенное положение D э β – D_1.

Задача. Способом совмещения плоскости α с π₁ построить прнадлежащий ей равносторонний треугольник АВС со стороной АВ.

Алгоритм решения. Рис. 111

1. Находим горизонтальные проекции точек А и В, А^I и В^I, располагая их на горизонталях плоскости α h₁ и h₂ ;

2. Находим совмещенный след f_0α1 ;

3. Находим совмещенные горизонтали h₁ и h₂ ;

4. Находим совмещенное положение (.) А – А₁ и (.) В – В₁ ;

5. Строим правильный Δ А₁В₁С₁ в совмещенном положении;

6. Помещаем (.) С на горизонталь h₃ ;

7. Используя (.) N_1, находим h^I₃ и h^II₃ ;

8. Проекции (.) С С^I и С^II расположены соответственно на C^I э h^I₃; С^II э h^II₃ .

5.8 Замена плоскостей проекций

5.8.1 Общие положения

Способ заключается в выборе новой плоскости проекций, на которой плоская фигура проецируется в частное положение, при котором облегчается решение поставленной задачи.

Основное правило

1. При замене сохраняется ортогональность, то есть π₄ ┴ π₁ или π₅ ┴ π₂ .

2. Система плоскостей проекций остается правой (ноль системы справа).

3. Объект расположен в том же пространственном углу. Рис. 112.

Примеры замены плоскостей проекций представлены на рисунках.

Одна замена плоскостей проекций для (.) А Рис. 113. Проекцию А^IV получаем на линии проекционной связи (перпендикуляр к х₁), откладывая прежнюю координату точки по оси z.

Аналогично для (.) В Рис. 114.

В^V расположена на перпендикуляре к х₁ с прежней координатой точки по оси у.

Двойная замена плоскостей проекций представлена на Рис. 115, 116.

5.8.2 Применение способа замены плоскостей проекций

Способ применяется при решении метрических задач:

1. Определение длины отрезка;

2. Определение углов наклона прямой к плоскостям проекций;

3. Определение наклона плоскости к плоскостям проекций.

Позиционных задач:

1. Преобразование плоскости в проецирующую и других.

Задачи, решаемые одной заменой:

1. Длина отрезка и углы его наклона к плоскости проекций;

2. Расстояние от точки до плоскости;

3. Преобразование плоскости в проецирующую;

4. Углы наклона плоскости к плоскостям проекций;

5. Проведение плоскости на указанном расстоянии от заданной.

Задачи, решаемые двумя заменами:

1. Расстояние от точки до прямой;

2. Величина двугранного угла;

3. Натуральная величина плоской фигуры;

4. Расстояние между двумя прямыми.

5.8.3 Некоторые задачи, решаемые заменой плоскостей проекций

Задача: Определить натуральную величину отрезка АВ и угол его наклона к π ₁ Рис. 117

Задача: Определить натуральную величину плоскости АВС и угол ее наклона к плоскости π ₁ Рис. 118

Алгоритм решения.

1. См. п.п. 1 и 2 предыдущей задачи

2. _Х1 π _{4 --> Х2} π ₄; O_X2 || А^IV В^IV С^IV

π ₁ π ₅

3. т.к. АВС || π ₅ => А^V В^V С^V = |ABC

4. угол α^о=АВС ^ π ₁

Задача: Определить расстояние от точки М до прямой АВ

Алгоритм решения. представлен на Рис 119.

Тема №6.

Метрические задачи.

6.1. Общие сведения.

Метрическими называются задачи, решение которых связано с определением линейных и угловых величин. Обратные им задачи – графическое построение геометрических фигур по их линейным и угловым размерам. В основе решения таких задач лежит инвариантное свойство ортогонального проецирования: фигура, находящаяся в плоскости α || π, проецируется на эту плоскость без искажения, а так же теорему о проецировании прямого угла. Для решения таких задач применяем плоскопараллельное перемещение, вращение, замену плоскостей проекций.

6.2. Определение расстояний

1. Расстояние между точками (длина отрезка). Рис. 35, 97, 102, 117

2. Расстояние от точки до прямой. Рис. 119

3. Расстояние от точки до плоскости. Рис. 103

4. Расстояние между двумя параллельными прямыми. Задача может быть решена плоскопараллельным перемещением, вращением вокруг главной линии или двукратной заменой плоскостей проекций. Рис 120

5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Задача может быть решена плоскопараллельным перемещением или двукратной заменой плоскостей проекций. Рис 121

6. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Определяется длинной перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной плоскости на другую. Рис 122

Алгоритм решения.

1. _Х π _{2 --> Х1} π ₄; O_X1┴h^I (и h_oα)

π ₁ π ₁

2. Плоскости АВС и α – проецирующие. Выбираем произвольно (.) К (^КIV) и опускаем перпендикуляр на ^{АIV ВIV СIV} , получаем (.) Т^IV. К^IV Т^IV=|КТ|

7. Натуральная величина плоской фигуры. Рис. 98, 107, 111, 118.

6.3. Определение углов

8. Определение угла наклона прямых к плоскостям проекций. См. Рис. 35, 97, 117.

9. Определение угла между пересекающимися прямыми производится, как определение величины плоской фигуры (см. п. 8)

10. Определение угла между плоскостями

    1. Если не найдена линия их пересечения. Рис. 123

Алгоритм решения.

1. Выбираем произвольную (.) К;

2. Опускаем на плоскости перпендикуляры р₁ и р_{2 :}

р₁^I ┴ h_oα ; р₁^II ┴ f_oα

р₂^I ┴ h^I ≡ А^I 1^I

р₂^II ┴ f^II ≡ C^II 2^II ;

3. Выбираем произвольно горизонталь h₁ ≡ (3-4);

4. Осуществляем две замены плоскостей проекций

1. _Х π _{2 --> Х1} π ₄; O_X1 ┴ (h₁^I ≡ 3^I – 4^I)

π ₁ π ₁

2. _Х1 π _{4 --> Х2} π ₄; O_X2 || (К^IV 3^IV≡ 4^IV )

π ₁ π ₅

5. φº = α ^Δ АВС = 180º - γº .

2. Если линия пересечения плоскостей имеется, то определить величину двугранного угла можно с помощью двойной замены плоскостей проекций. Рис. 124.

1. Определение угла наклона плоскостей к плоскостям проекций. Рис. 125. Необходимо преобразовать плоскость в проецирующую.

Тема №7.

Позиционные задачи.

7.1. Пересечение многогранников с плоскостями и прямыми

7.1.1. Пересечение многогранников с прямой. Рис 126, 127, 128

Алгоритм решения.

1. Через прямую провести произвольную плоскость α. Для удобства решения плоскость должна быть выбрана проецирующей. Рис. 127, 128

2. Найти линию пересечения поверхности многогранника с плоскостью α:

АВСS ∩ α=(1-2-3) рис 128

3. Определить точки пересечения заданной прямой с сечением: (1-2-3) ∩ MN=K, T

7.1.2. Пересечение пирамиды с плоскостью общего положения. Рис 129

Алгоритм решения.

1. Преобразовать плоскость α в проецирующую _Х π _{2 --> Х1} π ₄; O_X1┴ h_oα

π ₁ π ₁

2. Найти линию пересечения АВСS ∩ α=(1-2-3)

3. Найти горизонтальную (1^I - 2^I -3^I) и фронтальную (1^II - 2^II -3^II) проекции сечения.

7.1.3. Пересечение призмы с плоскостью общего положения

Решение аналогично предыдущему. Рис 130

7.2. Пересечение поверхностей вращения с плоскостями

7.2.1. Пересечение поверхностей вращения с проецирующими плоскостями

Так как проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости проекций, линия, лежащая в ней, совпадает со следом этой плоскости.

7.2.1.1. Пересечение конуса с проецирующей плоскостью. Рис 131

Фронтально проецирующая плоскость α пересекает конус по эллипсу (1-2-3-4-5). Чтобы построить горизонтальную проекцию сечения, выбираем образующие:

две очерковые точки 1 и 2

SH(точки 3^I и 3^I)

SR(точки 4^I и 4^I)

SL(точки 5^I и 5^I)

7.2.1.2. Пересечение цилиндра с проецирующей плоскостью. Рис 132

Горизонтально проецирующая плоскость α пересекает цилиндр по эллипсу

(1-2-3-4-5-6-7-8). Чтобы построить фронтальную проекцию сечения, выбираем образующие:

две очерковые на горизонтальной проекции цилиндра (точки 1^II и 2^II)

две очерковые на фронтальной проекции цилиндра (точки 3^II и 4^II)

KL(точки 5^II и 6^II)

AB(точки 7^II - 8^II)

7.2.1.3. Пересечение сферы с проецирующей плоскостью. Рис 133

Фронтально проецирующая плоскость пересекает сферу по окружности (1-2-3-4-5-6-7-8)

Чтобы построить горизонтальную проекцию сечения, которая проецируется в эллипс, выбираем характерные точки на фронтальной плоскости проекции:

Точки 1^II и 2^II (малая ось эллипса) расположены на очерке сферы, значит на π ₁ они будут расположены на экваторе;

Точки 3^II и 4^II , расположены на экваторе, значит на π ₁ они будут расположены на очерке;

Точки 5^II и 6^II (большая ось эллипса) располагаются на окружности радиуса R_1. Окружность получается при опускании перпендикуляра из центра сферы 0^II на f_oα;

Произвольные точки 7^II - 8^II получаются на окружности радиуса R_2.

7.2.2. Пересечение поверхностей вращения с плоскостями общего положения

7.2.2.1. Пересечение плоскости с поверхностью конуса Рис 134

Алгоритм решения.

1. Преобразовать α в проецирующую _Х π _{2 --> Х1} π ₄; O_X1┴ h_oα

π ₁ π ₁

2. В сечении получается парабола (часть эллипса). Выбираем характерные точки сечения на π ₄ для построения горизонтальной проекции:

Очерковая образующая (точка 1^IV)

В основании конуса (точки 2^IV ≡ 3^IV)

S^IVA^IV ≡ S^IVB^IV (точки 4^IV ≡ 5^IV)

3. Переносим эти точки на фронтальную плоскость по линиям проекционной связи, откладывая координаты точки с плоскости π ₄

4. На П₂ необходимо построить точку, находящуюся на очерковой образующей S^IIК^II

Находим К^I и К^IV , проводим S^IVК^IV и на ней находим точку 6^IV . Далее возвращаем ее на π ₂ и π _1.

7.2.2.3. Пересечение плоскости с поверхностью сферы Рис 135

Задача решается аналогично рассмотренной на Рис 133

Плоскость α преобразуем в проецирующую дважды.

1. _Х π _{2 --> Х1} π ₄; O_X1┴ h_oα

π ₁ π ₁

Выбираем точки 1^IV….6^IV и строим эллипс на плоскости π ₁

2. _Х π _{2 --> Х2} π ₂; O _Х2┴f_oα

π ₁ π ₅;

Выбираем аналогично рассмотренные точки 7^IV….12^IV и строим эллипс на плоскости π ₂ .

7.3. Пересечение тел вращения с прямыми

7.3.1. Пересечения конуса и цилиндра с прямой. Рис 136, 137

Алгоритм решения.

1. Заключаем прямую в плоскость β, пересекающую тело по простейшей геометрической линии. В случае конуса плоскость проводим через любые две точки прямой (А и В) и вершину S (a и b). В случае цилиндра – через точки А и В параллельно образующим цилиндра (а и b).

2. Находим точки пересечения линий a и b с основанием тела вращения - это следы этих линий Н₁ и Н₂ . Соединяя горизонтальные проекции точек Н₁^I и Н₂^I, получаем горизонтальный след плоскости h_oβ.

3. Находим образующие, по которым плоскость β пересекает тела вращения:

У конуса S-1 и S-2; у цилиндра 1-1 и 2-2

4. Точки пересечения этих образующих с прямой АВ – искомые точки К и Т пересечения тел вращения с прямой.

7.3.2. Пересечение сферы с прямой. Рис 138

Алгоритм решения.

1. Заключаем прямую в проецирующую плоскость β.

2. Осуществляем замену плоскостей проекций: _Х π _{2 --> Х1} π ₄; O_X1┴ h_oβ

π ₁ π ₁

3. Сфера пересекается плоскостью β по окружности радиуса R. Строим эту окружность на П_4. Точки пересечения К^IVТ^IV окружности с прямой являются искомыми.

4. Находим проекции этих точек на π ₂ и π _1.

7.4. Пересечение поверхностей

7.4.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей.

Способ заключается в проведении секущих плоскостей φ_{1 ,}φ_2… φ_п

φ_{1 ∩} α = a₁

φ_{2 ∩} β = b₁

a _∩ b = k

Находим n точек, принадлежащих искомой линии пересечения.

Задача: Рис 139

1. Точка 1 (1^II) получается при пересечении очерков поверхностей (при проведении горизонтально проецирующей плоскости β)

2. Проводим фронтально проецирующую плоскость α_1. Конус пересекается ею по окружности радиуса r₁ , сфера по окружности радиуса R_1. При пересечении этих окружностей на горизонтальной плоскости получаем точки 2≡3(2^I и 3^I; 2^II и 3^II)

3. Аналогично при проведении плоскости α₂ получаем точки 4 и 5, плоскости α₃ точки 6 и 7, α₄ - точки 8 и 9.

7.4.2. Способ концентрических сфер.

Если центр сферы расположен на оси поверхности вращения и эта ось параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций линия пересечения сферы с заданной поверхностью проецируется прямой линией. Способ может быть применим при соблюдении трех условий:

1. пересекаются поверхности вращения;

2. оси этих поверхностей параллельны плоскостям проекций;

3. за центр сферы выбирается точка пересечения осей поверхностей.

Задача Рис. 140

1. За центр сфер принимается точка С^I≡S^I≡O^I.

2. Точки 1^II и 2^II получаются при пересечении очерков поверхностей (при проведении горизонтальной плоскости α). Аналогично точки 9^II и 10^II.

3. Точки 3^I и 4^I (11^I и 12^I) получаются при проведении фронтальной плоскости β. Один конус пересекается по образующим, другой по окружности радиуса r_1.

4. Из точки С, как из центра, проводим несколько окружностей радиуса r и R. Максимальный радиус равен С^II-10^II, минимальный R (радиус окружности, касательной к образующей конуса).

7.4.3. Способ эксцентрических сфер.

Способ используется для построений линий пересечения не только поверхностей вращения, но и поверхностей, имеющих семейство плоских сечений в виде окружностей.

Задача: Рис. 141

1. Проводим плоскость α через ось конуса α э FE; α|| π ₂ ; O х||h_oα . α пересечет конус и тор по очерковым и образующим. В их пересечении определятся точки 1^II и 2^II.

2. Проводим плоскость β┴T₂ ; β э 0. Этой плоскостью внешний очерк тора пересекается в точке B^II, а ось его – в точке A^II. Из точки А^II проводим перпендикуляр к f_oβ и получаем точку C^II его пересечения с осью конуса E^IIF^II. Из точки С^II , как из центра, проводим сферу радиусом С^IIB^II. Конус пересекается ею по окружности радиуса r_1, а в пересечении этой проецирующей окружности с f_oβ получим точки сечения 3^II и 4^II.

3. Аналогично получаем точки 5^II≡6^II и 7^II≡8^II.

Тема №8.