Ряды Тейлора и Маклорена.

Имеем степенной ряд, сходящийся на интервале (x₀ – R, x₀ + R). Суммой ряда является функция f(x)

= f(x) ( 11 )

Покажем, что коэффициенты этого ряда связаны простым соотношением с f(x) .

Будем последовательно дифференцировать обе части равенства ( 11 ) и вычислять производные при х = х₀

f (x) = a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)² + a₃(x – x₀)³ + … + a_n(x – x₀)ⁿ + . . . , f(x₀) = a ₀

f ‘(x) = a₁ + a₂(x – x₀) + a₃(x – x₀)² + … + n a_n(x – x₀)^n-1 + . . . , f ‘(x₀) = a₁

f ‘’(x) = a₂ + a₃(x – x₀) + a₄(x – x₀)² + … + n(n – 1) a_n(x – x₀)^n-2 + . . . , f ‘)’(x₀) = 2 a₂

f ‘’’(x) = a₃ + a₄(x – x₀) + a₅(x – x₀)² +…+ n(n–1)(n–2)a_n(x – x₀)^n-3 + . . . , f’’’(x₀) = 23 a₃

f⁽ⁿ⁾ (x) = n(n–1)(n–2) . . . 2 1 a_n + . . . , f ^{( n )}(x₀) = n ! a _n

Отсюда находим коэффициенты a₀ = f(x₀) , a_n = f ^{( n )}(x₀) / n ! ( 12 )

Таким образом, если бесконечно дифференцируемая в точке х₀ функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид

f(x) = ( 13 )

и наз. рядом Тейлора , а при х₀ = 0 наз. рядом Маклорена.

Обратная задача. Имеем некоторую функцию f(x) бесконечно дифференцируемую в точке х₀ . Составим для неё ряд Тейлора.. Его сумма S(x) не всегда совпадает с f(x) , ряд может оказаться расходящимся или вырожденным. Определим условия, при которых S(x) = f(x).

Сумма n первых членов ряда ( 12 ) S_n(x) наз. многочленом Тейлора , а разность R_n(x) = f(x) - S_n(x) наз. остаточным членом ряда Тейлора.

Теорема. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке х₀ функция f(x) являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора ( 13 ) , необходимо и достаточно, чтобы lim R_n(x) = 0 при n .

Док – во. По определению, сумма ряда S(x) = lim S_n(x) при n , поэтому

f(x) – S(x) = f(x) - lim S_n(x) = lim ( f(x) - S_n(x) ) = lim R_n(x) = 0

n n n

Существуют несколько форм записи остаточного члена. Форма Лагранжа

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾( )/ (n+1)! (x – x₀)ⁿ⁺¹ ( 14 )

Остаточный член n –ого порядка равен n+1 члену ряда, в котором аргументом производной служит некоторая промежуточная точка интервала (x, x₀). Для оценки R_n(x) достаточно взять максимально возможное значение .

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ; 2) Находим интервал сходимости этого ряда ; 3) Проверка условия lim R_n(x) = 0 при n

Разложение f(x) = e^x 1) f ’(x) = e^x, . . . , f⁽ⁿ⁾(x) = e^x, f(0) = f ‘(0) = f⁽ⁿ⁾(0) = 1

S(x) = 2) R = lim | a_n/a_n+1| = lim (n+1) = ряд сходится при х R и,

следовательно, выполняется необходимое условие сходимости ряда lim u_n = lim xⁿ/n! = 0

n n

3) lim R_n(x) = lim exp( ) xⁿ⁺¹/(n+1)! = exp( ) lim xⁿ⁺¹/(n+1)! = 0 , где (0,x)

n n n

Итог: функция е^х на интервале (- , ) является суммой ряда

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + . . . + xⁿ/n! + . . . = ( 15 )

Разложение f(x) = sin x 1) f ’(x) = cos x = sin (x + ) , f ‘’(x) = sin (x + 2 ), . . . , f⁽ⁿ⁾(x) = sin (x + n ), . . . ; f(0) =0, f ‘(0) = 1, f ‘’(0) = 0, f ‘’’(0) = -1, f ‘’’’(0) = 0,

и далее цикл 0, 1, 0, -1 повторяется при каждом обходе круга

S(x) = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! + . . .

2) R = lim | a_n/a_n+1| = lim (2n+1)!/(2n-1)! = lim 2n(2n+1) = на интервале (- , )

n n n ряд сходится абсолютно

3) lim R_n(x) = lim [ sin( + (2n+1) )] x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = A lim x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = 0 (|A|<1)

n n n

Итог: нечетная функция sin x на интервале (- , ) является суммой ряда

sin x = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! + . . . = ( 16 )

Разложение f(x) = cos x Воспользуемся формулой cos x = (sin x)’ и почленно продифференцируем разложение sin x

cos x = 1 – x²/2! + x⁴/4! - . . . = ( 17 )

Разложение f(x) = (1 + x)^m , m R (биноминальное разложение)

1) f ’(x) = m (1-x)^m-1, f ’’(x) = m(m-1) (1-x)^m-2, . . . , f⁽ⁿ⁾ (x) = m(m-1) . . . (m-n+1) (1-x)^m-n, f(0) = 1, f ‘(0) = m, f ‘’(0) = m(m-1), . . . , f⁽ⁿ⁾ = m(m-1) . . . (m-n+1)

S(x) = 1 + m x + m(m-1)/2! x² + m(m-1)(m-2)/3! x³ + . . .

Если m натуральное число, то ряд превращается в многочлен степени m, т.к. все остальные коэффициенты ряда содержат множитель (m – m)

2) R = lim | a_n/a_n+1| = lim (m(m-1) . . . (m-n+1)/n!) : (m(m-1) . . . (m-n)/(n+1)! ) = 1

n n

3) Детальный анализ остаточного члена дает lim R_n(x) = 0 при n

Итог : на интервале (-1, 1) функция (1 + x)^m является суммой ряда

(1 + x)^m = 1+ m x + m(m-1)/2! x² + m(m-1)(m-2)/3! x³ + . . = (18)

Если m натуральное число, то (1 + x)^m = = Cⁿ_nxⁿ Это формула бинома Ньютона, а Cⁿ_m = m!/n!(m-n)! – число сочетаний из m элементов по n .

Рассмотрим ряд (18 ) при m = -1, тогда [m(m-1) . . (m-n+1)/n!] = (-1)^n-1 n!/n! = (-1)^n-1

1/( 1+x ) = 1 – x + x² – x³ + . . . ;

1/( 1+x² ) = 1 – x² + x⁴ - . . . ;

1/( 1- x ) = 1 + x + x² + x³ + . .

Разложение f(x) = ln(1 + x) Используем интегральную формулу

ln(1+x) = dx 1/(1 + x) = dx (1 – x + x² – x³ + . . . ) = x – x²/2 + x³/3 - . . . +(-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1

На интервале (-1, 1) ряд сходится абсолютно ; при х = -1 расходится как гармонический ряд ; при х = 1 условно сходится, как знакочередующийся ряд

Разложение f(x) = arctg x Используем интегральную формулу

arctg x = dx 1/(1+x²) = dx (1 – x² + x⁴ - . . . ) = x – x³/3 + x⁵/5 - . . . + (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/2n+1

На интервале (-1, 1) ряд сходится абсолютно , при х = -1 и х = 1 условно сходится, как знакочередующийся ряд.

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.