25. Трендовые модели

Существует шесть различных видов линий тренда (аппроксимация и сглаживание):

• Линейная аппроксимация – это прямая линия, наилучшим образом описывающая набор данных. Она применяется в самых простых случаях, когда точки данных расположены близко к прямой. Говоря другими словами, линейная аппроксимация хороша для величины, которая увеличивается или убывает с постоянной скоростью.

Пример: прямая линия описывает стабильный рост продаж холодильников на протяжении 13 лет.

• Логарифмическая аппроксимация полезна для описания величины, которая вначале быстро растет или убывает, а затем постепенно стабилизируется. Логарифмическая аппроксимация использует как отрицательные, так и положительные величины.

Пример: логарифмическая кривая описывает прогнозируемый рост популяции животных, обитающих в ареале с фиксированными границами. Скорость роста популяции падает из-за ограниченности их жизненного пространства.

• Полиномиальная аппроксимация используется для описания величин, попеременно возрастающих и убывающих. Она полезна, например, для анализа большого набора данных о нестабильной величине. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов и минимумов) кривой. Полином второй степени может описать только один максимум или минимум. Полином третьей степени имеет один или два экстремума. Полином четвертой степени может иметь не более трех экстремумов.

Пример: полином второй степени (один максимум) описывает зависимость расхода бензина от скорости автомобиля.

• Степенная аппроксимация полезна для описания монотонно возрастающей либо монотонно убывающей величины, например расстояния, пройденного разгоняющимся автомобилем. Использование степенной аппроксимации невозможно, если данные содержат нулевые или отрицательные значения.

Пример: зависимость пройденного разгоняющимся автомобилем расстояния от времени. Расстояние выражено в метрах, время – в секундах. Эти данные точно описываются степенной зависимостью.

• Экспоненциальная аппроксимация полезна в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Однако для данных, которые содержат нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения неприменим.

Пример: экспоненциальная линия тренда описывает содержание радиоактивного углерода-14 в зависимости от возраста органического объекта. Значение R-квадрат равно 1, что означает полное совпадение кривой с аппроксимируемыми данными.

• Скользящее среднее. Использование в качестве приближения скользящего среднего позволяет сгладить колебания данных и таким образом более наглядно показать характер зависимости. Такая линия тренда строится по определенному числу точек (оно задается параметром Шаг). Элементы данных усредняются, и полученный результат используется в качестве среднего значения для приближения. Так, если Шаг равен 2, первая точка сглаживающей кривой определяется как среднее значение первых двух элементов данных, вторая точка – как среднее следующих двух элементов и так далее.

Пример: зависимость числа продаж на протяжении 26 недель, полученная путем расчета скользящего среднего.

26. Экспертная оценка.

Практический опыт использования методов системного анализа показал, что предпочтение, где это возможно, следует отдавать достаточно простым методам. Это положение относится и к экспертным методам. Экспертные методы широко используются при определении коэффициентов относительной важности (КОВ) в деревьях взаимосвязей и, вообще, когда необходимо из указанного множества свойств и взаимосвязей отобрать существенные, наиболее важные. Приходится также прибегать к помощи экспертов, чтобы проранжировать рассматриваемые свойства и взаимосвязи по степени их важности и существенности.

При использовании мнений группы экспертов предполагается, что организованное взаимодействие между специалистами позволит компенсировать смещения оценок отдельных членов группы, и что сумма информации, имеющейся в распоряжении группы экспертов, будет больше, чем информация любого члена группы.

Метод Дельфи является одним из наиболее перспективных методов формирования групповой оценки экспертов. Этот метод получил название от древнегреческого города Дельфи и мудрецов, славившихся предсказаниями будущего. Метод представляет собой ряд последовательно осуществляемых процедур, направленных на формирование группового мнения экспертов. Для этого метода характерны следующие три основные черты:

• анонимность;

• регулируемая обратная связь;

• групповой ответ.

• Анонимность предполагает использование специальных вопросников и других средств индивидуального опроса, в частности диалоговых средств персональных компьютеров.

• Регулируемая обратная связь осуществляется путем проведения нескольких туров опроса, причем обработка результатов каждого тура осуществляется с помощью статистических методов и результаты ее сообщаются экспертам.

• Применение статистических методов обработки группового ответа позволяет уменьшить статистический разброс индивидуальных оценок (снижение в знаниях неопределенности вероятностного характера) и получить групповой ответ, в котором наиболее верно отражено мнение каждого эксперта.

• Следовательно, анонимность опроса позволяет ослабить влияние отдельных «доминирующих» экспертов, а регулируемая обратная связь снижает влияние индивидуальных и групповых интересов, не связанных с решаемыми задачами, т. е. обратная связь повышает объективность и надежность групповой оценки. Таким образом, итеративная процедура проведения опросов в несколько туров (с информированием экспертов о результатах предыдущих этапов опроса и предложениями в ряде случаев обосновать свое мнение) приводит к уменьшению разброса в индивидуальных ответах и создает несомненные преимущества дельфийского метода по сравнению с «простым» статистическим объединением индивидуальных мнений при обработке экспертных данных анкетными методами.

• При обработке результатов опроса на каждом туре полученные экспертные оценки К_i (i = l, 2, …, n) упорядочиваются, например, в порядке убывания, и определяются характеристики положения и разброса. При этом в связи с тем, что обычно используют незначительное число экспертов, вместо традиционных числовых характеристик в виде математического ожидания и среднеквадратического отклонения предпочтительно в качестве характеристик положения и разброса использовать более устойчивые — медиану и квартили.

• Медиана служит характеристикой группового ответа, предпочтительный интервал квартилей — показателем разброса индивидуальных оценок. За медиану Ме принимается член ряда, по отношению к которому число экспертных оценок с начала и конца ряда (справа и слева от медианного значения) будет одинаковым (рис. 4.3). Затем определяется верхний и нижний квартили представляющие собой интервалы, в каждый из которых попадает 25 % значений ряда. Средние квартили, расположенные слева и справа от медианы, считаются предпочтительными как характеристики разброса (Q_Н Q_В).

• 

• Рис. 4.3. Показатели разброса индивидуальных оценок

• На следующем туре каждому эксперту сообщаются значения полученных характеристик. Экспертов, чьи оценки оказались в крайних квартилях (справа от Q_В или слева от Q_Н), просят обосновать их мнения и причины расхождения с групповым мнением. Так как ответы экспертов анонимны, они имеют возможность пересмотреть свои мнения, данные на предыдущем туре, и при желании исправить оценки. Такая процедура позволяет всем экспертам принять в расчет обстоятельства, которые они могли случайно пропустить или которыми они пренебрегли в предыдущих турах. После получения новых оценок определяются новые медиана и квартили. Процедура может повторяться 3—4 раза.

• Такая итеративная процедура позволяет после каждого тура эффективно уменьшать разброс индивидуальных экспертных оценок. При этом средняя оценка экспертов, изменивших свое мнение, сдвигается по направлению средней оценки группы (медианы), а эксперты, не изменившие свои оценки, дают более точное и строгое их обоснование.

• Экспериментально установлено, что при использовании метода Дельфы наличие в группе менее знающих экспертов оказывает более слабое их влияние на групповую оценку, чем при простом усреднении оценок, поскольку итерация помогает этим специалистам улучшить свои оценки за счет использования информации от более компетентных специалистов.

27. Оценка согласованности экспертов.

Метод ранжирования. Состоит в том, что эксперту предлагается присвоить числовые ранги каждому из приведенных в анкете факторов. Ранг, равный единице, приписывается наиболее важному, по мнению эксперта, фактору, ранг, равный двум, присваивается следующему по важности фактору и т. д.

Порядковая шкала, получаемая в результате ранжирования, должна удовлетворять условию равенства числа рангов N числу ранжируемых элементов. Иногда возникает ситуация, когда эксперт затрудняется провести четкое разграничение между некоторыми элементами. В этом случае вводятся так называемые стандартизованные или связанные ранги (R_св).

Например, эксперту предлагается проранжировать по важности факторы, используемые в отделе труда и заработной платы предприятия (табл. 4.1). Факторам 3 и 5, поделившим между собой второе и третье места, приписывается связанный ранг

R_св = (2 + 3) / 2 = 2,5 ,

а факторам 2, 4 и 6, поделившим соответственно 4, 5 и 6 места, приписывается

R_св = (4 + 5 + 6) / 3 = 5.

В итоге получается ранжировка, соответствующая последнему столбцу табл. 4.1.

Таблица 4.1

Ранжировка по важности факторов, используемых

в отделе труда и заработной платы предприятия

Номер фактора	Наименование фактора	Ранг эксперта	Связанный ранг (Rсв)
1 2 3 4 5 6	Квалификация Профессия Стаж Возраст Общее образование Семейное положение	1 3 2 3 2 3	1 5 2,5 5 2,5 5
21	С у м м а		21

Сумма рангов S_n, полученная в результате ранжирования n факторов, равна сумме чисел натурального ряда:

S_n = n  (n + 1) /2.

При большом числе оцениваемых факторов их «различимость» с точки зрения эксперта уменьшается. Поэтому число факторов не должно быть более 20-ти, а наибольшая надежность процедуры ранжирования обеспечивается при n < 10.

Известно, что одним из недостатков анкетных методов является значительная субъективность экспертной оценки, поэтому для повышения степени ее объективности обычно проводят анкетирование нескольких экспертов. В случае, если ранжирование производится несколькими экспертами, то наивысший ранг присваивается фактору, получившему наименьшую сумму рангов, и наоборот, фактор, собравший наибольшую сумму рангов, получает самый низкий ранг N. Для формализации этой процедуры удобно воспользоваться относительными весами факторов, которые можно вычислить путем следующей обработки анкет.

Результаты опроса m экспертов относительно n факторов сводятся в матрицу размерности m  n (табл. 4.2), которая называется матрицей опроса. Здесь A_ij — ранг j-ro фактора, данный i-м экспертом. При обработке матриц опроса переходят к преобразованным рангам по формуле

S_ij = А_mах — A_ij.

Таблица 4.2

Матрица опроса

Эксперт	Факторы
	1	2	…	j	…	n
1 2 … i … m	A11 A21 … Ai1 … Am1	A12 A22 … Ai2 … Am2	… … … … … …	A1j A2j … Aij … Amj	… … … … … …	A1n A2n … Ain … Amn

При этом матрица опроса преобразуется в матрицу преобразованных рангов (табл. 4.3), для каждого столбца которой определяется сумма

.

Таблица 4.3

Матрица преобразованных рангов

Эксперт	Факторы
	1	2	…	j	…	n
1 2 … i … m	S11 S21 … Si1 … Sm1	S12 S22 … Si2 … Sm2	… … … … … …	S1j S2j … Sij … Smj	… … … … … …	S1n S2n … Sin … Smn
Сумма	R1	R2		Rj		Rn

По данным табл. 4.3 определяется относительный вес каждого фактора по всем экспертам:

Для примера рассмотрим ситуацию: четыре эксперта проранжировали по важности три фактора из табл. 4.1. Матрица опроса приведена в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Матрица опроса (четыре эксперта, три фактора)

Эксперты	Факторы
	1	2	3
1 2 3 4	3 3 2 3	2 1 3 2	1 2 1 1

Полученная согласно приведенным выше формулам матрица преобразованных рангов представлена в табл. 4.5. Найдем суммарный вес каждого фактора (по всем экспертам) R_j, после чего вычислим относительный вес факторов (последняя строка табл. 4.5).

Таблица 4.5

Матрица преобразованных рангов (четыре эксперта)

Эксперт	Фактор
	1	2	3
1 2 3 4	0 0 1 0	1 2 0 1	2 1 2 2
Сумма (Rj) Относительный вес фактора (Wj)	1 1/12	4 4/12	7 7/12

Таким образом, самый большой относительный вес имеет третий фактор, который и получает наивысший ранг, а наименьший ранг R = 3 получит первый фактор с самым низким весом (1/12).

При анализе оценок, полученных от экспертов, часто возникает необходимость выявить конкордацию — согласованность их мнений по нескольким факторам. Для этого используют коэффициент конкордации, который является числовым критерием согласованности мнений экспертов в рассматриваемой группе. Коэффициент конкордации определяется по формуле

V = S / S_max,

где S — сумма квадратов разностей рангов (отклонений от среднего), определяемая по формуле

S_max — максимальное значение S, которое имеет место в случае, когда все эксперты дают одинаковые оценки.

Можно показать, что суммарное квадратичное отклонение от их среднего значения для суммарных (по всем экспертам) рангов факторов при наилучшей согласованности будет определяться значением

В приведенных формулах, как и ранее, m — число экспертов в группе, n — число факторов. Величина коэффициента конкордации может меняться в пределах от 0 до 1, причем его равенство единице означает, что все эксперты дали одинаковые оценки, а равенство нулю означает, что связи между оценками, полученными от разных экспертов, не существует. Коэффициент конкордации удобно рассчитывать по формуле, предложенной Кендаллом:

.

В случае W < 0,2—0,4 говорят о слабой согласованности экспертов, а большие величины W > 0,6—0,8 свидетельствуют о сильной согласованности экспертов. Слабая согласованность обычно является следствием следующих причин:

• в рассматриваемой группе экспертов действительно отсутствует общность мнений;

• внутри группы существуют коалиции с высокой согласованностью мнений, однако обобщенные мнения коалиций противоположны.

В рассмотренном выше примере для m = 4, n = 3 (табл. 4.4) найдем сумму квадратов отклонений в соответствии с приведенной выше формулой:

S = (11 — 8)² + (8 — 8)² + (5 — 8)² = 18,

в этой формуле среднее значение определяется как m(n+1)/2 = 8.

Полученная величина коэффициента конкордации W = 0,56 показывает среднюю степень согласованности мнений экспертов.

Для определения степени согласованности мнений двух экспертов удобно пользоваться коэффициентом ранговой корреляции (по Спирмену):

,

где x_j и y_j — ранги, установленные двумя экспертами; n — число факторов.

Величина коэффициента ранговой корреляции принимает значения в интервале от -1 до 1. В случае наименьшей зависимости между двумя рядами номеров рангов величина коэффициента корреляции будет малой (близкой к нулю).