24.Схема исследования и решения системы линейных уравнений в общем случае.

Пусть заданная система m линейных уравнений с n неизвестными общего вида

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁,

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂,

…………………………………….

A_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m, (2)

или, в матричной форме,

AX=B, (3)

Если В=0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Решением системы(2) называется всякий n-компонентный вектор-столбец Х, обращающий матричное уравнение (3) в равенство (соответствующий решению Х арифметический вектор х принадлежит R ⁿ также будем считать решением системы (2) )

Система называется совместной, если у нее существует, по крайней мере, одно решение, в противно случае она называется несовместной.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

25.  Однородные системы линейных уравнений 

     Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

     Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения   образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве   множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r;   - базис этого подпространства.

26. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и любого частного решения неоднородной системы.

Поскольку общее решение линейной системы, записанной в каноническом виде, определяется формулами:

то общее решение неоднородной системы можно записать в векторной форме в виде:

Здесь С₁, С₂, ..., С_n−r−1, С_n−r — произвольные константы, r — ранг матрицы системы.

Любая однородная система линейных алгебраических уравнений, ранг матрицы которой равен r, с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду:

Общее решение однородной линейной системы, записанной в каноническом виде, очевидно, определяется формулами:

Свободные переменные x_r+1 , x_r+2 , ..., x_m−1, x_m могут принимать произвольные значения.

Вычисленные по этим формулам n − r линейно независимых решений образуют фундаментальную систему решений:

Тогда общее решение системы можно записать в вектороной форме в виде:

Здесь С₁, С₂, ..., С_n−r−1, С_n−r — произвольные константы.

27.      Определение линейного пространства       Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать   ...), в котором установлены правила:

     1) любым двум элементам   соответствует третий элемент   называемый суммой элементов   (внутренняя операция);

     2) каждому   и каждому   отвечает определенный элемент   (внешняя операция).

     Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

     I. 

     II. 

     III.   (нулевой элемент, такой, что  ).

     IV.   (элемент, противоположный элементу  ), такой, что 

     V. 

     VI. 

     VII. 

     VIII.         Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).

Линейная зависимость и независимость векторов 

 Система   линейно зависима,

     что 

  Критерий линейной зависимости векторов 

     Для того чтобы векторы   (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

28. Определение. Линейное пространство   называется  -мерным, если в нем существует   линейно независимых векторов, а любые из   векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число  называется размерностью пространства   и обозначается  .

Определение. Совокупность   линейно независимых векторов  -мерного пространства  называется базисом.

Справедлива следующая теорема.

Базисом векторного пространства   называется любая независимая система линейно независимых  –векторов этого пространства, количество которых равно  , т.е. выбор системы базисных векторов векторного пространства   неоднозначен, и может быть осуществлен большим числом способов.

29. Теорема. Каждый вектор  линейного пространства   можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса  :

Это равенство называется разложением вектора   по базису  , а числа  — координатами вектора   относительно этого базиса. В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, – противоположные по знаку координаты.

Теорема. Если  – система линейно независимых векторов пространства   и любой вектор  линейно выражается через  , то пространство   является  -мерным пространством  , а векторы   – его базисом.

Нередко приходится встречаться с заменой переменных, при которой старые переменные линейно выражаются через новые, например, при переходе от одного базиса пространства   к другому. Такую замену переменных называют обычно их линейным преобразованием.

30. Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных   через новую систему переменных   с помощью линейных однородных функций:

Линейное преобразование вполне определяется таблицей размером  , составленной из коэффициентов при  . Такая таблица, составленная из элементов   называется матрицей  , а само преобразование представляет собой пример матричной операции.