3.2. Теплопроводность однородного цилиндрического стержня

Дано: длинный цилиндрический стержень радиусом r₀ с коэффициентом теплопроводности =const, с объемным тепловыделением q_v находится в среде с температурой t_ж, задан коэффициент теплоотдачи = const (рис. 3.3).

У словие "длинного" стержня предполагает пренебрежимо малый отток тепла в среду с торцов стержня. Вся теплота отдается в среду только цилиндрической поверхностью стержня. При этом температура цилиндрической поверхности будет одинаковой (t_c) и температура в стержне будет изменяться только по радиусу.

Определить: уравнение температурного поля t=f(x); тепловой поток (Q, Вт), рассеиваемый цилиндрической поверхностью стержня.

Температурное поле цилиндрического стержня описывается дифференциальным уравнением теплопроводности в цилиндрических координатах (1.14). При условиях стационарного режима и постоянства температур t_с и t_ж уравнение (1.14) запишется в виде

(3.23)

Граничные условия третьего рода для цилиндрической поверхности стержня

(3.24)

Условие максимума температуры в центре стержня

(3.25)

Решением уравнения (3.23) является общий интеграл

(3.26)

После нахождения постоянных интегрирования с₁ и с₂ с помощью условий (3.24) и (3.25) получим уравнение температурного поля цилиндрического стержня t=f(r) в виде

(3.27)

где r – текущий радиус.

Уравнение (3.27) – симметричная парабола (рис. 3.3).

Подстановка в (3.27) r = 0, r = r₀ дает расчетные формулы для t_max , t_c:

	(3.28)
	(3.29)

При подстановке (3.29) в (3.27) получим уравнение температурного поля цилиндрического стержня при граничных условиях первого рода

(3.30)

Тепловой поток, рассеиваемый цилиндрической поверхностью, можно определить двумя способами:

где F=2 r₀ , м³ – площадь цилиндрической поверхности стержня; V= r₀ ² , м³ – объем стержня; , м – длина стержня.

3.3. Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассматривается цилиндрическая стенка с внутренним тепловыделением q_v при отсутствии теплоотдачи с торцов. Температурное поле такой стенки описывается уравнением (3.23) с общим интегралом (3.26).

Рассмотрим случаи, когда теплоотдающей поверхностью являются:

1. наружная поверхность;

2. внутренняя поверхность;

3. обе поверхности.

Охлаждение только по наружной поверхности (рис. 3.4)

Дано: r₁ , r₂ , , q_v, λ, t_{ж 2}, α₂.

Определить: уравнение температурного поля t=f(r), тепловой поток (Q₂, Вт), рассеиваемый наружной поверхностью.

Для нахождения постоянных интегрирования с₁ и с₂ в уравнении (3.26) потребуется два дополнительных условия: граничное условие третьего рода для наружной поверхности стенки

(3.31)

и условие максимума температуры на внутренней поверхности стенки

(3.32)

Решением системы уравнений (3.23), (3.31), (3.32) является уравнение температурного поля t=f(r) в виде

(3.33)

где r – текущий радиус.

Расчетные формулы для вычисления максимальной температуры (t_max), температуры наружной поверхности стенки (t_c2) можно получить, если в (3.33) подставить r=r₁, r=r₂ соответственно.

Тепловой поток, рассеиваемый наружной поверхностью стенки,

(3.34)

где V= (r₂ ²- r₁ ²) , м³ – тепловыделяющий объем.

Охлаждение только по внутренней поверхности (рис. 3.5)

Д ано: r₁, _, r₂ . , q_v, λ, , .

Определить: t=f(r), Q₁, Вт.

Граничное условие третьего рода для внутренней поверхности стенки запишется в виде

(3.35)

Условие максимума температуры на наружной поверхности стенки

(3.36)

Решением системы уравнений (3.23), (3.35), (3.36) является уравнение температурного поля t=f(r)

(3.37)

Расчетные формулы для t_max и можно получить, если в (3.37) подставить r = r₂ и r= r₁ соответственно.

Тепловой поток Q₁, рассеиваемый внутренней поверхностью стенки, рассчитывается по уравнению (3.34).

Охлаждение по внутренней и наружной поверхностям (рис. 3.6)

Д ано: r₁, _, r₂ . , q_v, λ, , .

Определить: t=f(r), радиус максимальной температуры r₀ , тепловые потоки Q₁ , Q₂.

Для нахождения постоянных интегрирования с₁ и с₂ в уравнении (3.26) и радиуса максимальной температуры r₀ потребуется три дополнительных условия: граничные условия первого рода на поверхностях стенки

при	(3.38)
при	(3.39)

и условие максимума температуры при r = r₀

(3.40)

Решением системы уравнений (3.23), (3.38) - (3.40) являются уравнение температурного поля стенки t=f(r)

(3.41)

где r – текущий радиус, и формула для расчета радиуса максимальной температуры

(3.42)

Формулы для расчета перепадов температуры в стенке получены на основании (3.41):

(3.43)

(3.44)

Потоки теплоты Q₁ и Q₂, рассеиваемые поверхностями стенки, рассчитываются по формулам

	(3.45)
	(3.46)

Суммарный тепловой поток

(3.47)