4)Операции над предикатами
Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.
Логические операции
Конъюнкцией двух предикатов
А(х) и В(х) называется новый предикат
,
который принимает значение «истина»
при тех и только тех значениях х Т, при
которых каждый из предикатов принимает
значение «истина», и принимает значение
«ложь» во всех остальных случаях.
Множеством истинности Т предиката А(х)
В(х), х Х является пересечение множеств
истинности предикатов А(х) – Т1 и В(х) –
Т2, т.е. Т= Т1 ∩Т2. Например: А(х): «х – четное
число», В(х): « х кратно 3». А(х) В(х) –
«х – четное число и х кратно 3». Т.е.
предикат «х делится на 6».
Дизъюнкцией двух предикатов
А(х) и В(х) называется новый предикат
,
который принимает значение «ложь» при
тех и только тех значениях х Т, при
которых каждый из предикатов принимает
значение «ложь» и принимает значение
«истина» во всех остальных случаях.
Областью истинности предиката А(х) В(х)
является объединение областей истинности
предикатов А(х) В(х).
Отрицанием предиката А(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при всех значениях х Т, при которых предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если А(х) принимает значение «истина». Множеством истинности предиката , х Х является дополнение Т' к множеству Т в множестве Х.
Импликацией предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат А(х) В(х), который является ложным при тех и только тех значениях х Т, при которых А(х) принимает значение «истина», а В(х) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Читают: «Если А(х), то В(х)». Например. А(х): «Натуральное число х делится на 3». В(х): «Натуральное число х делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4». Множеством истинности предиката А(х) В(х) является объединение множества Т2 – истинности предиката В(х) и дополнения к множеству Т1 истинности предиката А(х).
Кванторные операции
Квантор (все-)общности
Квантор существования
Квантор существования по переменной x1
7) Определение. Формула логики предикатов, в которой из операций логики высказываний имеются только конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, причем отрицание относится только к элементарным предикатам, называется приведенной формой предиката.
Теорема 1. Для всякого предиката существует равносильная ему приведенная нормальная форма.
Доказательство. Действительно, все операции в данной предикатной формуле можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (например, в виде ДНФ). Если после этого некоторые отрицания будут относиться к частям формулы, содержащим кванторы, то отрицания можно “снять” с кванторов согласно равносильностям 1 и 2, а “снять” отрицания с конъюнкций и дизъюнкций можно, следуя законам де Моргана. После всех описанных преобразований предикат, очевидно, будет представлен в приведенной форме.
Определение.
Предикатная формула вида
,
где Кi – кванторы, хi –
различные связанные переменные,
а F – предикатная формула без
кванторов, находящаяся в приведенной
форме, называется предваренной нормальной
формой предиката.
Теорема 2. Для всякого предиката существует равносильная ему предваренная нормальная форма.
Доказательство.
Согласно теореме 1 можно считать, что
предикат уже преобразован в приведенную
форму. Если никакая операция навешивания
квантора при этом не находится в
области действия операций
и
,
то приведенная форма уже является
предваренной нормальной. Поэтому
предположим, что описанные ситуации
имеют место, и будем называть такие
явления (когда какой–либо квантор
находится в области действия данной
операции
или
)
беспорядками.
Для данной формулы число беспорядков конечно, так как конечно число символов. Выберем какой-либо беспорядок (скажем, первый слева) и покажем, что путем тождественных преобразований его можно убрать. Возможны два случая:
1) Беспорядок имеет вид: ∀x Р или ∃х Р, где Р – не зависит от х. Тогда ∀х или ∃х можно просто отбросить, поскольку ∀хР ≡ Р и ∃хР ≡ Р.
2) Беспорядок имеет вид: ∀хР(х) или ∃хР(х). Если переменная х еще встречается в формуле, то предварительно сделав замену согласно формулам
∀xP(x) ≡ ∀tP(t), ∃xP(x) ≡ ∃tP(t),
где t – переменная, не встречающаяся в формуле, беспорядок представляется в виде правой части одной из формул 10 – 13. Применяя эти формулы (т.е., заменяя правые части на левые), беспорядок устраняется.
Проделав такие преобразования конечное число раз, все беспорядки будут ликвидированы, что и требовалось доказать.
Пример. Привести к предваренной нормальной форме следующий предикат:
