22. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой.
Возьмем
3 точки:
,
,
, которые не лежат на одной прямой. Через
них можно провести одну и только одну
плоскость. Возьмем на этой плоскости
любую точку
.
Построим 3 вектора
.
Т.к. они компланарны, то их смешанное
произведение равно нулю:
.
В декартовых координатах:
,
,
.
-
уравнение плоскости через 3 заданные
точки.
_____________________________________________________________________________
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(xi,yi,zi), не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
23. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости (смотри №21!!!!!). Уравнение биссектральной плоскости двугранного угла.
Рассмотрим
плоскость
(рис 6.3). Из начала координат проведем
нормаль к этой плоскости. Точку пересечения
нормали с плоскостью обозначим
.
Величину отрезка
обозначим
.
Орт нормали
обозначим
.
Чтобы
свободная точка
принадлежала плоскости
,
необходимо и достаточно чтобы проекция
радиуса-вектора
точки
на нормаль
равнялась
числу
.
(6.12)
Нормальное уравнение плоскости получим, если в (6.12) перенесем влево от знака равенства число .
(6.13)
Отклонение точки от плоскости.
Пусть
число
− расстояние от точки
до плоскости. Отклонение точки от
плоскости
,
если точка и начало координат лежат по
разные стороны от плоскости, и
,
если точка и начало координат лежат по
одну сторону от плоскости.
(6.14)
Здесь
(6.15)
Нормальное уравнение плоскости
(6.13)
и общее уравнение плоскости
(6.1)
определяют одну и ту же плоскость, следовательно существует такое число , что
(6.16)
(6.17)
Из четвертого равенства выражения (6.16) следует, что знак противоположен знаку . Число называется нормирующим множителем. Для получения нормального уравнения плоскости достаточно умножить общее уравнение на нормирующий множитель .
Отклонение точки от плоскости получим, подставив координаты точки в уравнение (6.14).
1. Назовем отклонением d точки М от плоскости П число +d в случае, когда точка М и начало координат точка О лежат по разные стороны от плоскости П, и число -d - в случае, когда точка М и начало координат точка О лежат по одну сторону от плоскости П, (куда направлен вектор - “+d” и “-d” - в противоположном расположении точки М, если точка О лежит на плоскости).
Для нахождения отклонения d точки М0(x0,y0,z0) от плоскости П следует в левую часть нормированного уравнения плоскости П поставить на место х,у,z координаты x0,y0,z0 точки М.
Так как
А×х + В×у + С×z + D = 0
и
определяют одну ту же плоскость, то существует t такое, что
t×A = Cosa, t×B = Sinb, t×C = Sing, t×D = -p.
Так как сумма квадратов направляющих косинусов равна 1, то
t2×(A2+ B2+ C2)=1,
следовательно,
,
(2.10)
где знак t противоположен знаку коэффициента D.
Для приведения общего уравнения плоскости
А×х + В×у + С×z + D = 0 к нормированному виду следует умножить его на нормирующий множитель (2.10), знак которого противоположен знаку коэффициента D.