17. Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и проходящей через заданную точку.

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.

Теорема 5.3. Уравнение

(5.27)

есть уравнение пучка прямых, пересекающихся в точке , если и не обращаются в нуль одновременно, а уравнения

и (5.28)

суть уравнения двух прямых, пересекающихся в точке .

Любая прямая, проходящая через точку , определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях чисел и .

Доказательство. Преобразуем уравнение к следующему виду:

(5.29)

Это уравнение прямой, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное: пусть обе первые скобки равны нулю. Тогда, из

следует ,

Из следует .

В итоге (5.30) Это условие параллельности прямых (5.28), что противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (5.27) всегда определяет некоторую прямую. Эта прямая проходит через точку , так как подстановка её координат обращает в нуль каждое из уравнений (5.28), а следовательно, и уравнение (5.27).

. (5.31)

Покажем, что любая прямая, принадлежащая пучку определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях чисел и . Фиксируем точку , отличную от точки . Эти две точки определяют прямую, принадлежащую пучку, единственным образом. Подставив координаты точки в уравнение (5.27), получим уравнение относительно неизвестных и . . (5.32)

В этом уравнении круглые скобки не могут обратиться в нуль одновременно, так как точка не может принадлежать двум различным прямым, так как не совпадает с точкой (5.28).

Пусть ,

Тогда (5.33)

Из (5.33) значения и определяются с точностью до произвольного общего множителя.

Можно представить уравнение пучка прямых в другом виде, разделив (5.27) на и положив : Уравнение (5.34) не эквивалентно (5.27), так как не позволяет получить прямую .