15. Угол (Cos фи) между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных общим и каноническим уравнениями.

Угол между прямыми, а также условия перпендикулярности и параллельности прямых очевидным образом связаны с соответствующими соотношениями между их направляющими векторами .

. (7.12)

Условие перпендикулярности двух прямых:

. (7.13)

Условия параллельности прямых:

(7.14)

(Нуль в знаменателе в этой пропорции означает, что соответствующий числитель тоже обращается в нуль.)

Угол между плоскостью

(7.15)

и прямой

(7.16)

Определяется как дополнительный к углу между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой .

Если угол между векторами обозначить , а угол меду прямой и плоскостью , то . Следовательно:

. (7.17)

Условие перпендикулярности векторов и

(7.18)

соответствует параллельности прямой и плоскости, а условие парллельности векторов и

(7.19)

означает перпендикулярность прямой и плоскости.

Для того, чтобы прямая (7.16) принадлежала плоскости (7.15) должны быть выполнены два условия:

1. условие параллельности прямой и плоскости

(7.20)

2. координаты точки , принадлежащей прямой, должны обращать уравнение плоскости в тождество

(7.21)

Для того, чтобы две прямые (7.22) и (7.23) принадлежали

(7.22)

(7.23)

одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

и

были компланарны.

Приравняв нулю смешанное произведение этих векторов, получим условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. (7.24)

______________________________________________________________

Условие параллельности двух прямых на плоскости:

Прямые A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 являются параллельными тогда и только тогда, когда

Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости:

Прямые A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда A1A2 + B1B2 = 0

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

Ax + By + C = 0

16) Нормальное уравнение прямой на плоскости. Нормирующий множитель. Отклонение точки от прямой.

Чтобы получить нормальное уравнение прямой из начала координат опустим перпендикуляр на прямую . (Рис. 5.4). Пусть − точка пересечения перпендикуляра с прямой , длина отрезка , орт нормали . Чтобы точка лежала на прямой, необходимо и достаточно, чтобы проекция вектора на нормаль равнялась .

(5.21)

Уравнение (5.22)

есть нормальное уравнение прямой.

Пусть − расстояние от точки до прямой. Отклонением точки M₀ от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и –d, если точка и начало координат лежат по одну сторону от прямой.(Для точек, лежащих на самой прямой =0.)

(5.23)

Здесь (5.24)

Нормальное уравнение прямой и общее уравнение прямой

определяют одну и ту же прямую, следовательно существует такое число , что

, . (5.25)

(5.26)

Из третьего равенства выражения (5.25) следует, что знак противоположен знаку . Число называется нормирующим множителем.

Для получения нормального уравнения прямой достаточно умножить общее уравнение на нормирующий множитель .