13. Уравнение первой степени и прямая на плоскости . Общее уравнение прямой. Нормальный вектор. Прямая в отрезках.

Определение 5.1. Уравнение (5.1)

называется уравнением линии на плоскости относительно заданной системы координат, если ему удовлетворяют координаты точек, принадлежащих некоторой линии , и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии.

Определение 5.2. Линия называется алгебраической, если в некоторой прямоугольной системе координат есть полином некоторой степени.

Алгебраическая линия называется линией - го порядка если − полином степени .

Теорема 5.1. Если линия в некоторой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени , то и в другой прямоугольной системе координат степень уравнения будет равна .

Без доказательства.

Теорема 5.2. Если на плоскости фиксирована прямоугольная система координат , то любая прямая , принадлежащая плоскости, определяется в этой системе координат уравнением первой степени.

Доказательство. При специальном выборе системы координат, если ось совпадает с прямой, уравнение прямой « » совпадает с уравнением оси . В соответствии с утверждением теоремы 5.1 в любой другой прямоугольной системе координат степень уравнения сохранится.

Пусть уравнение прямой имеет вид:

(общее уравнение прямой),

(5.1)

Пусть задана точка , координаты которой удовлетворяют уравнению.

. (5.2)

Вычитая (5.2) из (5.1), получаем:

. (5.3)

Дадим векторное истолкование уравнения (5.3).

Пусть и − координаты некоторого вектора , а и −компоненты вектора , начало которого совпадает с точкой , а конец совпадает с произвольной точкой , принадлежащей прямой.

Очевидно, что скалярное произведение

является условием ортогональности векторов и .

Вектор называется нормальным вектором прямой.

Уравнение прямой в отрезках.

14)Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой. Координаты направляющего вектора l, m, n: a = {l;m;n}.

Если известна одна точка M₀ (x₀;y₀;z₀) прямой и направляющий вектор a = {l;m;n}, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

(1) В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки M₁ (x₁;y₁;z₁) и M₂ (x₂;y₂;z₂), имеют вид

(2) Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим:

= t. Отсюда x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt (3)

Это параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M₀ (x₀;y₀;z₀) в направлении вектора a = {l;m;n}. В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно имеющийся параметр, x,y,z – как функции от t; при изменении t величины x,y,z меняются так, что M (x;y;z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки M, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки M. При t = 0 M совпадает с точкой M₀. Скорость v точки M и определяется формулой:

V= Уравнение является уравнением прямой, проходящей через две точки M₁(x₁;y₁) и M₂ (x₂;y₂). Угол , называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой к:

к = tg =

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу. Считая от начала координат. Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то ее угловой коэффициент определяется по формуле:

K = - .

Умножив выражение на число и подставив в него , получим:

(5.12)

Если принять обозначение , уравнение примет следующий вид:

. (5.13)

Здесь координата точки пересечения прямой с осью , в чем легко убедиться, подставив в (5.13) уравнение оси − .