10. Векторное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах. Условия коллинеарности векторов.
Теорема 4.5. Если вектора представлены разложениями но базису
, (4.13)
то их векторное произведение имеет вид:
(4.14)
Доказательство. Перемножив векторные многочлены (4.13), получим, что
Строка (4.15) последнего выражения получена с учетом того, что
(4.16)
(Знак
минус в этих произведениях получается
вследствие нарушения порядка в тройке
ортов
.)
Очевидно, что выражение (4.15) есть разложение определителя (4.14) по элементам первой строки.
Теорема доказана.
Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Доказательство.
Если
и
,
то доказательство необходимости и
достаточности утверждения теоремы
следует из (4.12) и того факта, что условие
при
также является необходимым и достаточным.
11. Смешанное произведение 3 векторов.Геометрическая интерпретация.Свойства. Условия компланарности 3 векторов.
Определение
4.4. Если
векторное произведение
умножить
скалярно
на вектор
,
то число
называется смешанным
произведением
векторов
и
.
Теорема
4.6. Смешанное
произведение
равно объёму параллелепипеда, построенного
на приведенных к общему началу векторах
и
,
взятому со знаком плюс, если тройка
векторов правая, и со знаком минус, если
тройка
левая. Если же перемножаемые вектора
компланарны, то их смешанное произведение
ровно нулю.
Доказательство.
Тривиальный случай коллинеарности
векторов
и
исключим, так как векторное произведение
коллинеарных векторов равно нулю. Тогда,
используя выражение (4.19), можно произвести
следующее преобразование
(4.20)
(Знак + берем в случае, если тройка векторов правая).
Если
же вектора
и
компланарны,
то вектор
лежит в плоскости векторов
и
,
следовательно
и
.
Теорема доказана.
Следствие 1. Справедливо равенство
(4.21)
Объём параллелепипеда не зависит от того, какая пара векторов из тройки перемножается векторно. Знак произведения не изменяется, так как сохраняется порядок векторов и ориентация тройки векторов.
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
12. Смешанное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах.
Теорема 4.7. Если три вектора представлены разложениями по базису
,
то их смешанное произведение равно следующему определителю:
(4.22)
Доказательство. Из формулы (4.15) следует, что:
Умножив скалярно этот вектор на вектор , получим,
(4.23)
Полученное выражение (4.23) есть разложение определителя (4.22) по элементам третьей строки. Теорема доказана.