5. Направляющие cos, орт вектора. Линейные свойства проекций вектора.

Вектор единичной длины называется ортом и обозначается символом . - это орт вектора .

Очевидно что, , откуда следует, что (3.1)

Разложение орта по базису имеет вид

(3.25)

В соответствии теоремой Пифагора для трехмерного случая

, (3.26)

а также

(3.27)

Принято называть и направляющими косинусами вектора , и - углы между вектором и осями и .

(3.28)

Свойства проекций вектора

 Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

 Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: .

 Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

.

6)Определение скалярного произведения. Геометрические и алгебраические свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. (Скалярное произведение принято обозначать круглыми скобками.)

(4.1)

Используя представление проекции вектора на другой вектор, можно записать

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1) ,

2) , где − число,

3)

4) , если , , если .

5) = |a|²

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, вынося за скобки числовые множители.

Если вектора а и b заданы своими координатами: а = {X₁;Y₁;Z₁}, b = {X₂;Y₂;Z₂}, то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле:

ab = X₁ X₂+ Y₁ Y₂+ Z₁ Z₂.

7. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных компонентами в декартовой системе.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1) ,

2) , где − число,

3)

4) , если , , если .

Теорема. Если вектора и представлены в виде разложений по базису ,

, то скалярное произведение этих векторов равно следующему выражению:

Доказательство. Перемножив векторные многочлены a и b, получим:

8. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов. Проекция вектора на другой.

Угол. Вопрос 7.(для определения скалярного произв. векторов)

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Теорема. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению вектора на орт вектор .

Доказательство.

9. Определение векторного произведения векторов. Тройка векторов. Алгебраические и геометрические свойства. Площадь параллелограмма.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом

и удовлетворяющий трем требованиям:

1. вектор ортогонален к каждому из векторов и ,

2. длина вектора равна произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними.

3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов является правой, если, после приведения векторов к общему началу, вектор располагается так, что из его конца кратчайший поворот от к виден происходящим в направлении против часовой стрелки. (В противном случае тройка векторов считается левой.)

Это утверждение справедливо для тройки векторов и для системы декартовых координат в пространстве.

Векторное произведение имеет следующие алгебраические свойства:

1) , (антиперестановочность)

2) ,

3) ,

4) .

Теорема. Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Доказательство. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними, доказательство теоремы следует из формулы

Теорема 4.5. Если вектора представлены разложениями но базису

, то их векторное произведение имеет вид: