25. Прямая в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Приведение к каноническому виду уравнения прямой, заданной пересечением 2-х плоскостей.

Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

. (7.1)

Часто удобнее канонический вид уравнения прямой.

Определение 7.1. Любой ненулевой вектор , параллельный данной прямой будем называть направляющим вектором прямой.

Задача 7.1. Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно вектору .

Решение.

Рассмотрим вектор , начало которого совпадает с точкой , а конец − в произвольной точке .

Чтобы точка лежала на прямой , вектор должен быть параллелен вектору . Условие параллельности векторов состоит в пропорциональности сходственных координат, из чего следует

(7.2)

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Приравняв выражение (7.2) параметру , получим параметрические уравнения прямой.

(7.3)

Эти уравнения имеют наглядное физическое истолкование. Если принять что, −время, а вектор скорости, то уравнения (7.3) − это три проекции уравнения движения точки на координатные оси.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и получим из уравнения (7.2), приняв, что направляющий вектор

(7.4)

и подставив выражение (7.4) в (7.2):

(7.5)

Чтобы привести к каноническому виду уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей, нужно найти направляющий вектор прямой и точку, лежащую на прямой. Длина вектора − произвольная, точка, лежащая на прямой − любая.

Пусть прямая есть линия пересечения плоскостей (7.6)

. (7.6)

Направляющий вектор прямой ортогонален каждому из нармальных векторов плоскостей

и .

Поэтому определим вектор , как векторное произведение нормальных векторов

(7.7)

Компоненты вектора будут иметь вид

(7.8)

Для определения координат точки, лежащей на прямой, добавим в систему уравнений (7.6) уравнение третьей плоскости. Удобно добавить одну из координатных плоскостей или .

Чтобы получающаяся система уравнений второго порядка имела единственное решение, её главный определитель не должен обращаться в нуль. Это накладывает ограничения на выбор координатной плоскости.

Пусть . Пусть в полученной системе уравнений

. (7.9)

главный определитель .

Тогда координаты искомой точки определяются по формулам Крамера

. (7.10)

Искомое каноническое уравнение запишем в следующем виде

(7.11)

26. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в пространстве. Параметрическое уравнение прямой. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

Чтобы точка M лежала на прямой L, вектор M₁M должен быть параллелен вектору q. Условие параллельности векторов состоит в пропорциональности сходственных координат, из чего следует

(1)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂) получим из уравнения (1), приняв, что направляющий вектор

(2)

и подставив выражение (2) в (1):

(3)

Приравняв выражение (1) параметру t, получим параметрические уравнения прямой.

(4)

Эти уравнения имеют наглядное физическое истолкование. Если принять что, t −время, а вектор скорости, то уравнения (4) − это три проекции уравнения движения точки на координатные оси.

Найти точку пересечения прямой:

(1)

и плоскости:

(2)

Решение.

Приравняем выражение (1) к параметру t и выразим через него x, y и z

(3)

(4)

Подставим x, y и z из (4) в уравнение плоскости.

(5)

Координаты точки пересечения прямой и плоскости получим, подставив значение t₀, найденное из (5) в уравнения (4).

(6)