Задача 3.192

К источнику постоянного тока с внутренним сопротивлением R₀ подключили три одинаковых сопротивления R, соединенных между собой, как показано на рис. При каком значении R тепловая мощность, выделяемая на этом участке, будет максимальной?

Решение

Преобразуем схему в эквивалентную:

где R₁ = R₂ = R₃ = R; Rэ=R/3 .

Максимум мощности будет в тогда, когда ее производная равна нулю:

Раскрыв скобки и приведя подобные, получаем:

Ответ: R=3R₀

Задача 3.228

По проводнику протекает ток I.

Сечение проводника (полуокружность) показано на рисунке. Радиус полуокружности—R. Найти вектор магнитной индукции в точке О.

Для решения разобьем проводник на n линейных проводников. Каждый проводник будет создавать в точке О индукцию (проекция на ось Y).

где -ток в линейном проводнике,

-синус угла м/у и

а ;

Теперь просуммируем индукции от всех элементов тока по всем линейным проводникам.

;

Очевидно, что

Таким образом, ;

Задача 3.241

Имеется длинный соленоид радиуса R с n витками на единицу длины. По соленоиду протекает ток I. Найти:

а) Магнитную индукцию на оси соленоида как функцию расстояния от его торца;

б) Расстояние s до точки, в которой значение ЭМ-индукции будет отличаться от своего значения в глубине соленоида на 

Решение: Разобьём проводник на элементы тока IdL и воспользуемся законом Био-Саварра-Лапласса.

, где

Таким образом, ЭМ-индукция в точке с координатой x будет равна:

В глубине соленоида

б)

Задача 3.241

Очень длинный прямой соленоид имеет радиус сечения R и n витков на единицу длины. По соленоиду течет постоянный ток I. Пусть x – расстояние, отсчитываемое вдоль оси соленоида от торца. Найти:

а) Индукцию магнитного поля на оси как функцию x; изобразить примерный график зависимости индукции B от отношения x/R;

б) Расстояние x₀ до точки на оси, в которой индукция поля отличается от В в глубине соленоида на =1%.

Решение:

А ) Найдем В которое создает один виток. Выберем на кольце элемент тока (нижний рисунок) по закону Био-Cавара-Лапласа:

применяя к нашему случаю: рассматриваем только проекцию В на ось х т.к. вертикальная составляющая равна нулю.

,

интегрируя по всей длине окружности получим выражение:

.

Выберем на соленоиде элементарное кольцо шириной ds (верхний рисунок), тогда dN=nds – количество витков в этом кольце, а dI=IdN – ток через это кольцо. Используя выражение для витка провода, получаем:

Интегрируя, получаем:

(1)

б) поле в глубине соленоида найдем из следующей формулы:

(2)

и з (1) и (2) сокращая на In₀ , получим выражение

откуда после не хитрых математических преобразований можно получить:

Примерный график В(х/R) приведен на рис.2

Ответ: а)

б)

Задача 3.261

Квадратная рамка с током I=0,90A расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником по которому течет ток I₀=5,0A. Сторона рамки а=8,0 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние, которое в =1,5 раза больше стороны рамки. Найти:

А) амперову силу, действующую на рамку;

Б) механическую работу, которую нужно совершить при медленном повороте рамки вокруг ее оси на 180.