Решение:

Задачу будем решать методом зеркальных отображений:

Сила взаимодействия двух зарядов выражается формулой:

В нашем случае:

О тсюда:

Силы f₂ и f₃ образуют f равную:

О тсюда F:

О твет:

Задача 3.78

Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя с радиусами a и b , причем a<b . Изобразить примерные графики модуля напряженности E и потенциала  как функций r от центра системы, если диэлектрик имеет положительный сторонний заряд, распределенный равномерно:

а) по внутренней поверхности слоя

б) по объему слоя.

Решение:

а) по внутренней поверхности слоя

1. r<a: по теореме Остроградского-Гаусса

где

 - объемная плотность заряда,

V - объем,

С ледовательно, E(r<a)=0;

2. a  r b Аналогично:

3. r > b Аналогично:

б) по объему слоя.

1. r <a:

2. a  r b:

(См. задачу 3.82)

3. r>b:

П остроим требуемые графики:

Задача 3.82

Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью >0 по шару радиуса R из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью . Найти:

а) модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра шара, изобразить примерные графики зависимостей E(r) и (r) .

б) объемную и поверхностную плотности связанных зарядов.

Решение:

П оскольку заряд распределен по шару равномерно, при rR можно записать

Q – заряд шара;

П ри r>R поле, создаваемое заряженным шаром, такое же, как поле точечного заряда Q, расположенного в центре шара, т.е.

Найдем объемную и поверхностную плотности связанных зарядов:

О бъемная плотность:

П оверхностная плотность:

Ответ: a)

примерные графики зависимостей E(r) и (r) см. ниже.

б )

П остроим графики зависимостей E(r) и (r):

Задача 3.105

Найти ёмкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого равны a и b, причём a<b, если пространство между обкладками заполнено:

а) Однородным диэлектриком с проницаемостью ε.

б) Диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до центра конденсатора как ε=α/r, α – постоянная.

Решение:

Н апряжённость поля Е между шаровыми электродами выражается формулой

и изменяется в пространстве так же, как и в случае точечного заряда. Следовательно, разность потенциалов между внутренней сферой и какой-либо точкой внутри конденсатора, удалённой на расстояние r от центра конденсатора, равна . Тогда:

а )

б)

О твет:

Задача 3.117

В схеме найти разность потенциалов между точками А и В, если э.д.с. ε=10В и отношение ёмкостей C₂/C₁ =ŋ=2,0.

Решение:

Будем упрощать исходную схему , ипользуя своиства последовательного и параллельного соединений конденсаторов

, где

, где

По первому закону Киркгоффа для данной цепи можно записать:

U₁₂+U₀₂=ε; (1)

Т .к. заряды на конденсаторах С₁ и С₀₂ одинаковы, то:

Теперь подставляем полученное выражение в (1):

П одставим теперь значение С₀₂ в полученную формулу:

В ернёмся к предыдущей схеме.

Очевидно, что U₀₂=U₀₁. В свою очередь U ₀₁=U₁₁+U_ab. Т.к. заряды на конденсаторах С₁ и С₂ одинаковы, то

Т еперь аналогичным способом находим U_ab:

П одставляя числовые значения величин:

Ответ: U_ab=10 В.