25. Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим два многочлена степени и соответственно, т.е. предположим, что При делении многочлена на многочлен , где , нужно найти многочлены и такие, чтобы выполнялось равенство Опишем метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основывается на том, что многочлен -ой степени имеет ровно корней с учетом их кратности. Это означает, что если многочлен обращается в нуль более чем в точках, то этот многочлен нулевой (все коэффициенты равны нулю).

Запишем многочлены и с произвольными коэффициентами, т.е. и Умножим и сложим многочлены в левой части равенства: получим

здесь приведены подобные, т.е. группировка по степеням .

В итоге получим, что для любого значения переменной выполняется равенство левой и правой частей. Это означает, что многочлен -ой степени обращается в нуль более, чем в точках. Для равенства нулю многочлена достаточно потребовать равенства нулю всех его коэффициентов.

Приравняем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве или

Имеем систему линейных алгебраических уравнений:

из которой определяются неизвестные коэффициенты.

26 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка y"+py'+qy=0, (1) где p и q постоянные.

Для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.Будем искать частные решения уравнения (1) в виде У = е^кх,

где к - некоторое число (предложено ЛЭйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' та у" в уравнение (16.1), получим: k²е^kx+рке^kx +qе^kx =0, т.е. е^кх( к²+рк + q)=0, или k²+pk + q=0 (е^кх0) (2)

Определение. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

Для его составления достаточно в уравнении (1) заменить у", у' и у на к²,к и 1 соответственно.

При решении характеристического уравнения (оно является квадратным уравнением) возможны три случая.

Случай 1. Корни к₁ и к₂ характеристического уравнения (2) действительные и различные: к₁ k₂(D>0).

В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции

у1=ek1*x и у2=ek2*x – они образуют фунд-ую систему, т.к. их вронскиан

W(x)= | e^{(k1* x )} e^{(k2* x}) |

| k1*e^{(k1* x)} k2*e^{(k2* x)} | =k₂*e^{((k1+k2)x )} – k₁*e^((k1+k2)x =e^(k1+k2)x ( k₂ – k₁)0

Cлед-но, структура общего решение ур-ия (1) будет иметь вид у=С1*e^{(k1* x)}+С2*e^{(k2* x)}. (3)

Случай 2. Корни к₁ и к₂ характеристиxеского уравнения (2) действительные и равные:

k₁₌k₂₌k (D=0)/ В этом слуxае имеем лишь одно xастное решение у₁=е^kx . Покажем, xто наряду с у₁ решением уравнения (1) будет и у₂=x*е^kx .

Действительно, подставим функцию у₂ в уравнение (1). Имеем:

y₂"+py₂' + qy₂₌₍xe^kx)"+p(xe^kx) '+q(xe^kx) =

=(2ke^kx +хк² е^kx)+p(e^kx+x ke^kx)+q(x е^kx) =

=е^kx (2k + k²x+p+pxk+qx) = е^kx (х(к²+р k+q)+(p+2k)).

Но к²+р k+q = 0, т.к. k: есть корень уравнения (2);

р+2к=0, т.к. по условию к₁ = к₂= -p/2 (по формуле корней квадратного уравнения).

Поэтому у₂" +ру₂' + q y₂₌ 0 т.е функция у₂= хе^kx является решением уравнения (1).

Xастные решения у₁= е^kx и у₂= х е^kx образуют фундаментальную

систему решений : W(x) = е^2kx0. Следовательно, в этом слуxае общее

решение линейного однородного уравнения (1) имеет вид: y=C₁ е^kx +С₂хе^kxЬ. (4)

Случай 3. Корни к₁ и к₂ характеристиxеского уравнения (2) комплексные: к₁ = α + β i и к₂= а - βi (D<0). α β

В этом слуxае xастными решениями уравнения (1) являются функции:

y₁₌е^{(+* i) х} и y₂₌е^{(-* i) х} По формулам Эйлера

l₁^iφ=cosφ + i*sinφ, l₁^-iφ=cosφ – isinφ имеем:

у₁=е^хe^iβx = е^х*cosx+i*sinx

у2= е^хe^-iβx = ех*(cos(x)–i*sin(x)).

Найдём 2 действительных частных решения уравнения (1). Для этого составим две линейные комбинации решений y₁ и y_2:

(у₁+у₂)/2=е^x*cos(x)=ў₁ и (у₁-у₂)/2i=е^x*sin(x)=ў₂

Функции ў₁ и ў₂ являются решениями уравнения (1), xто следует из свойств решений

линейного однородного дифференциального уравнения 2-гопорядка. Эти решения образуют фундаментальную систему решений, т.к. W(x)0. Доказательство:

W(x)=| е^x *cos(x) е^x*sin(x) е^x*[*cos(x)–*sin(x)] е^x*[*sin(x)+*cos(x)] | = e^2x*[*cos(x)*sin(x)+*cos2(x)– *cos(x)*sin(x)+ *sin2(x)]=*e^2x0 – ч. и т.д

Поэтому общее решение уравнения (1) запишется в виде

у=e^x*(С₁*cos(x)+ C₂*sin(x)) (5)

Замечание. Таким образом, нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (2) и использованию формул (3) - (5) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).