
- •Пример прикладных задач Задача 1. Производственная задача
- •Задача 2. О строительстве зрительного зала
- •Задачи нелинейного программирования
- •Линейное программирование
- •Свойства задач линейного программирования
- •Симплекс метод
- •Формальное описание симплекс метода
- •Правило одного шага Жорданого исключения
- •Метод искусственного базиса
- •Необходимость.
- •Теория двойственности в линейном программировании
- •Одновременное решение прямой и двойственной задачи
Математическое программирование
Пример прикладных задач Задача 1. Производственная задача
Фирма хочет наладить производство некоторых товаров с тем, чтобы от их реализации получалась max прибыль с учетом ограниченности ресурсов
Введем обозначения:
n – число различных товаров
m – число различных товаров
– прибыль от j-го товара
(
)
– количество i-го ресурса
(
)
расход
i-го ресурса при производстве
единицы j-го товара
– объем выпускаемого j-го
товара
– производственный план
– прибыль
– необходимо максимизировать
– количество единиц i-го
ресурса, которого будет реализовано в
связи с планом
Построенная математическая модель представляет собой задачу линейного программирования.
Задача 2. О строительстве зрительного зала
Необходимо спроектировать зрительный зал в здании, имеющем форму полу эллипсоида max объема в форме прямоугольника, боковые стены которого должны быть плоскостям симметрии полу эллипсоида.
a, b, c – размеры полу эллипсоида
x – вершина прямоугольника (принадлежащая полу эллипсоида)
Тогда объем
2е т.к. вершина должна лежать на полу эллипсоиде
Мы построили задачу типа классических задач Лагранжа – задача нелинейного программирования
Общая задача математического программирования
при ограничениях:
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Оптимальное решение – глобальный экстремум |
Под стандартной формой задачи математического программирования понимают
Под канонической формой понимают
Правила перехода от одной формы к другой
Связь между типами экстремумов
Если «
», то умножив на (-1) поменяем тип неравенства на «
»
Если ограничение имеет форму неравенства, вводим дополнительную переменную и заменяем неравенство на равенство
Переход от равенств к неравенствам:
1
вариант.
2 вариант. За счет выражения одной переменной через другую
Классификация задач математического программирования
Задачи линейного программирования (ЗЛП)
имеет вид
Задачи выпуклого программирования (ЗВП)
Необходимо, чтобы
-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Множество X называется выпуклым, если
– выпуклая комбинация 2-х точек (при фиксированном
)
Все выпуклые
комбинации 2х точек образуют выпуклую
оболочку, натянутую на 2
-
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО
выпуклых множеств всегда выпукло
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция
, определенная на выпуклом множестве
, называется выпуклой, если
-
ПРИМЕР
Если – выпуклая, то функция
– тоже выпуклая
ЦЕНТРАЛЬНОЕ СВОЙСТВО
локальный
выпуклой функции является глобальным
( локальный
вогнутой функции является глобальным)
Среди задач выпуклого программирования выделяются задачи выпуклого квадратичного программирования (ЗВКП).
,
где D-матрица 2-ых
частных производных