37 Устойчивость линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Как известно, поведение системы после снятия возмущения, т.е. свободное движение, описывается решением однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

(5.4)

и заданными начальными условиями.

С этим уравнением связан характеристический полином:

(5.5)

Без ограничения общности предположим, что корни этого полинома различны, тогда решение уравнения записывается в виде

(5.6)

Исследуем характер решения. Пусть, например, корень s₁ − действительный, тогда возможны два случая:

а) s₁ < 0. В этом случае составляющая имеет вид кривой, асимптотически приближающейся к оси абсцисс t → ∞ (рис. 5.3а).

Действительно, при s₁ < 0 существует условие

Таким образом, если все корни − действительные отрицательные, то и все слагаемые будут стремиться к нулю, а, следовательно, и их сумма.

б) Пусть один из корней действителен и положителен, s₁ > 0, тогда абсолютная величина слагаемого будет безгранично возрастать при t → ∞ (рис. 5.3б), т.е. → ∞ при t → ∞. В этом случае у → ∞ даже когда все остальные слагаемые решения стремятся к нулю при t → ∞.

в) Пусть уравнение (5.5) имеет комплексно-сопряженные корни. Здесь также возможны два случая. Первый случай, если причем α < 0, тогда решение представляет собой затухающие колебания с частотой ω (рис. 5.3в), так как e^ατ→0 при t→∞, и, следовательно, все выражение также стремится к нулю при возрастании t.

Е сли комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то соответствующие члены решения стремятся к нулю при t → ∞.

Рис. 5.4 Изображение составляющих решения дифференциального уравнения:

а − корни действительные отрицательные; б − корни действительные положительные; в − корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью; г − корни комплексно-сопряженные с положительной действительной частью; д − корни мнимые; е − нулевой корень

г) Пусть α > 0. В этом случае решением являются колебания с нарастающей амплитудой (рис. 5.3г), так как e^ατ→0 при t→∞ следовательно,

д) Допустим теперь, что уравнение (5.5) имеет мнимые корни, т.е. тогда решение будетиметь вид: т.е. незатухающие колебания (рис. 5.3д).

е) Пусть уравнение имеет нулевой корень s₁ = 0, в этом случае y₁ = C, т.е. решение представляет собой константу.

Составляющую решения y_св(t) дает общее решение уравнения без правой части, которую часто называют переходной составляющей решения. Устойчивая система характеризуется тем, что y_св(t) → 0 при t → ∞. Если же это условие не соблюдается, то система неустойчива, если y_св(t) = сonst, то система нейтральна, а если y_св(t) представляет собой незатухающие колебания, то система находится на границе устойчивости. Таким образом, система устойчива тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Это правило получило название − признак устойчивости.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. Геометрическая интерпретация этого признака показана на рис. 5.5.