Алгоритм построения произвольного остова

1. Для каждой компоненты i графа выполняются пункты 2 и 3.

2. Строим частичный граф, содержащий все N_i вершины компоненты и не содержащий ребер (нуль-граф) (N_i -1)

3. Если в текущий граф уже включены (N_i -1) ребер, то остов для i-ой компоненты построен, иначе выбираем очередное нерассмотренное ребро компоненты и пытаемся включить его в граф. Если в текущем графе включаемое ребро не приводит к образованию цикла, то включаем это ребро, иначе не включаем. Ребро считается при этом рассмотренным. Повторяем шаг 3.

Определение минимального остова

Для взвешенного графа остов с минимальной суммой весов вошедших в него ребер

называется минимальным (кратчайшее связывающее дерево). Аналогию можно провести и в случае обозначения длины ребер.

Алгоритм построения системы независимых циклов графа

1. Строится произвольный остов графа, а в исходном графе отмечаются ребра, включенные в остов.

2. Выбираем очередное неотмеченное ребро и строим цикл, включающий это ребро и ребра остова. Он обязательно существует, так как вершины остова связны. Рассмотренное ребро отмечается и, если есть еще неотмеченные ребра, то выполняется шаг 2, иначе - шаг 3.

3. По формуле Эйлера производится проверка числа построенных циклов (для самопроверки).

Определение кратчайшего пути на графе методом Дейкстры

Каждой дуге исходного графа поставим число . Если некоторая дуга отсутствует, то положим . Будем называть число длиной дуги , хотя это число можно интерпретировать, как соответствующие затраты или весовой коэффициент.

Рассмотрим алгоритм, который определяет путь из s в вершину t и который имеет минимальную длину. В этом алгоритме считается, что все дуги графа имеют положительную длину. Алгоритм включает в себя 3 этапа:

1. Все вершины и дуги не окрашены. Каждой вершине присваивается число , равное кратчайшему пути из вершины s в вершину х, который включает только окрашенные вершины. Положим и . В этом случае окрашиваем s, считая , где у – последняя окрашенная вершина.

2. Для каждой неокрашенной вершины x пересчитать величину по следующей формуле . Если все для неокрашенных вершин х - необходимо закончить процедуру алгоритма, так как в исходном графе отсутствуют пути из вершины s в неокрашенные вершины, иначе - окрасить ту из вершин х, для которой величина d(x) является наименьшей, кроме того, окрасить дугу, ведущую в выбранную на данном шаге вершину х. Положить .

3. Если , то мы заканчиваем процедуру. Кратчайший путь из вершины s в вершину t найден. В противном случае вернуться к шагу 2.

Заключение:

Когда окрашивается некоторая вершина, то окрашивается и некоторая дуга, заходящая в эту вершину. Окрашенные дуги не могут образовывать в исходном графе цикла, так как в алгоритме не может окрашиваться дуга, концевые вершины которой уже окрашены.

Если кратчайшему пути из s в вершину t принадлежит вершина у, то часть этого пути, заключенная между х и у, является кратчайшим путем между этими вершинами.

Для того чтобы определить кратчайшие пути из вершины s во все вершины исходного графа, процедуру алгоритма следовало бы продолжать до тех пор, пока все вершины графа не были бы включены в ориентированное дерево кратчайших путей.