Достижимость и связность

Систему связи любой организации можно интерпретировать как граф, в котором люди представимы вершинами, а каналы связи – с дугами. При рассмотрении такой системы естественно задать вопрос: может ли информация от одного лица x_i быть передана другому лицу x_j, то есть, существует ли путь, идущий от вершины x_i к вершине x_j? Если такой путь существует, то говорят, что вершина x_j достижима из вершины x_i. Можно также интересоваться достижимостью на таких путях, длины которых не превосходят заданной величины.

Матрицы достижимости и контрдостижимости

Задан граф G (X, Г)

– множество вершин, достижимых из вершины х_i на путях длиной 1.

- множество вершин, достижимых из вершины х_i на путях длиной 2.

- множество вершин, которые достижимы из вершины х_i с использованием путей длины Р.

Т.к. любая вершина графа G, которая достижима из вершины х_i, может быть достижима с использованием пути (или путей) длиной 0 или 1 или 2 или ... или Р, то множество вершин, достижимых из х_i, можно представить в виде:

(1)

– множество может быть получено последовательным выполнением операций объединения (1) до тех пор, пока текущее множество не будет увеличиваться по размеру при очередной операции объединения.

Число объединений, которые необходимо выполнить зависит от графа, но число Р меньше числа вершин графа, следовательно, матрицу достижимости R можно построить следующим образом:

1. Находим достижимость множества для всех вершин графа, используя формулу (1);

2. Полагаем, что , если и , если .

Матрица контрдостижимости Q определяется следующим образом:

1. , если из вершины х_j можно достигнуть в вершину х_i;

2. , если из вершины х_j нельзя достигнуть в вершину х_i.

Аналогично построению достижимости множества с помощью формулы (1) можно построить множество следующим образом:

(2).

Для данного графа:

(как бы делаем возврат назад).

Операция объединения выполняется слева направо до тех пор, пока очередная операция объединения не перестанет изменять текущее множество .

Из приведенного определения следует, что столбец матрицы Q совпадает со строкой матрицы R, т.е. Q = R^Т.

Пример: найти матрицу достижимости и контрдостижимости для данного графа

Построение матрицы достижимости:

Т.к. является множеством вершин, достижимых из х_i, а является множеством вершин, из которых можно достигнуть в х_j, то пересечение есть множество таких вершин, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одному пути, идущему из вершины х_i в вершину х_j. Эти вершины называются существенными относительно двух конечных вершин, идущих из вершины х_i в вершину х_j. Все остальные вершины являются несущественными или избыточными, поскольку их удаление не влияет на путь из х_i в х_j.

Нахождение сильных компонент

Подграф называется собственным, если он отличен от самого графа. Граф (орграф) называется связным (сильно связным), если для любых его вершин х_i и х_j существует маршрут (путь), соединяющий х_i и х_j. Орграф называется односторонне связным, если для любых его вершин, по крайней мере, одна достижима из другой.

Компонентой связности (сильной связности) графа G (орграфа) называется его связным (сильно связным) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (орграфа).

У графа на рисунке а) 3 компоненты связности. У ориентированного графа на рисунке б) 3 компоненты сильной связности, показанные на рисунке в).

Поскольку в сильно связном графе произвольная вершина x_j достижима из любой другой вершины x_i, то в ориентированном графе существует одна и только одна сильная компонента, содержащая данную вершину x_i. Действительно, если бы вершина x_i принадлежала двум или большему числу сильных компонент, то существовал бы путь из любой вершины сильной компоненты в произвольную вершину другой сильной компоненты, следовательно, что объединение этих сильных компонент было бы сильно связным графом, что противоречит определению сильной компоненты.

Если вершина x_i является одновременно начальной и конечной вершиной пути, то множество вершин совпадет с пересечением .

Поскольку все промежуточные вершины цикла достижимы из x_i и, кроме того, из каждой такой вершины достижима вершина x_i, то все эти вершины взаимодостижимы.

Множество , которое может быть построено с помощью формул: , однозначно определяет сильную компоненту графа, содержащую вершину x_i .

Если все эти вершины удалить из графа G(X,Г), то в оставшемся порождённом подграфе: , то можно таким образом выделить новую сильную компоненту, содержащую вершину .

Эту процедуру можно повторять до тех пор, пока все вершины графа не будут сгруппированы в соответствующие сильные компоненты графа G.

После завершения этой процедуры граф G будет разбит на сильные компоненты.

Пусть G^*=G(X^*,Г^*) такой, что каждая его вершина представляет собой множество вершин некоторой сильной компоненты графа G.

Дуга (x_i^*,x_j^*) в графе G^* существует тогда и только тогда, когда в графе G существует дуга (x_i,x_j), такая что , a .

Граф G^* называется конденсацией графа G. Конденсация G^* не содержит циклов, поскольку наличие цикла означает, что любые вершины этого цикла взаимодостижимы, а поэтому совокупность всех вершин цикла принадлежит некоторой сильной компоненте в графе G^* и, следовательно, содержится в сильной компоненте графа G, что противоречит определению конденсации, в силу которого вершины из G^* соответствуют сильным компонентам графа G.