Матричное задание графа

Матрицей смежности графа G(X, Г) , содержащего n вершин называется квадратная матрица , в которой элементы a_ij равны количеству дуг, идущих из вершины i в вершину j. По матрице смежности можно определять полустепени исхода и захода, а также степень любой вершины (рис.15)

Транспонированная матрица А служит матрицей смежности графа, который отличается от исходного ориентацией дуг (рис.16)

- строки меняются столбцами

Дополнительная матрица графа G(X, Г) представляет собой квадратную матрицу , которая получается из матрицы смежности А путем замены 0 на 1, а всех остальных значащих цифр на 0.

Дополнительная матрица соответствует некоторому новому графу G(X, Г’), отображение каждой вершины которого определяется выражением .

Свойства матрицы смежности

1. Матрица смежности симметрична относительно главной диагонали, если соответствующий ей граф симметричен. Для симметричного графа матрица смежности равна транспонированной матрице

2. Матрица смежности полная, если сумма двух ее симметрично расположенных относительно главной диагонали элементов больше нуля и одинакова

Матрица смежности полная, когда соответствующий ей граф полный

По полной матрице можно определить степень вершины.

, где n – число вершин.

3. Матрица смежности имеет на диагонали 1, если все вершины графа имеют петли.

4. Две матрицы смежности А и В, которые соответствуют графам G₁(X,U) и G₂(X,V) могут быть проссумированы, если они одного и того же размера.

5. Две матрицы смежности А и В, соответствующие графам G₁ и G₂, могут быть перемножены в том случае, если они согласованы для умножения.

6. Матрица смежности может быть возведена в степень , что соответствует умножению . Сумма элементов j-го столбца матрицы смежности указывает на общее количество нулей длиной , заходящих в вершину , а сумма элементов i-ой строки на общее количество нулей длиной , выходящих из вершины .

Матрица инциденций. Пусть задан граф G с n вершинами и m дугами. Матрица инциденций определяется следующим образом:

1. , если вершина является началом дуги ;

2. , если вершина является концом дуги _;

3. , если дуга не инцидентна вершине или является петлей.

Поскольку каждая дуга инцидентна двум различным вершинам, за исключением того случая, когда дуга образует петлю, то каждый столбец матрицы инциденций содержит один элемент равный 1, и один элемент равный -1. Петлям соответствуют нулевые столбцы.

Операции над графами

I Объединение графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция объединения графов производится по следующим правилам:

1. Множеством вершин результирующего графа G (X, Г) является объединение множество вершин исходных графов

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа получается путём объединения отображений той же вершины для исходных графов

G₁ (X₁, Г₁) G₂ (X₂, Г₂)

II Пересечение графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция пересечения графов осуществляется по следующим правилам:

1. Множество вершин результирующего графа G (X, Г) является пересечением множеств вершин исходных графов

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа получается путём пересечения отображений той же вершины для исходных графов

Пример:

III Разность графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция разности графов производится по следующим правилам:

1. Множество вершин результирующего графа G (X, Г) является множеством вершин графа G₁ без множества вершин графа G₂

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа получается как разность между всем множеством вершин Х и отображением рассматриваемой вершины в G₁

Пример:

G (X, Г)

Рис.23

IV Произведение графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция произведения графов осуществляется по следующим правилам:

1. Множеством вершин результирующего графа G (X, Г) является объединение множеств вершин исходных графов

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа определяется по правилу: , где – отображение вершины в графе G₁, – отображение вершин множества в графе G₂

Пример: даны два графа G₁ и G₂

G₁ (X₁, Г₁) G₂ (X₂, Г₂)

V Декартовое произведение двух графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция декартового произведения двух графов производится по следующим правилам:

1. Вершины декартового произведения получаются путём последовательного сочетания каждой из вершин первого графа с каждой из вершин второго графа

2. Отображение каждой вершины результирующего графа получается путём возможных сочетаний каждого отображения графа G₁ с каждым из отображений графа G₂ для соответствующих вершин

Пример: даны два графа G₁ и G₂

G₁ (X₁, Г₁) G₂ (X₂, Г₂)

и так далее для каждой вершины

VI Сумма графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция суммы графов осуществляется по следующим правилам:

1. Множество вершин результирующего графа получается таким же образом, как и в операции декартового произведения

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа G получается путём объединения двух сочетаний, одно из которых образовано отображениями вершины графа G₁ с вершиной графа G₂, а другое – вершиной графа G₁ и отображением вершины в графе G₂

VII Расширение графа – превращение дуги, соединяющей любые две вершины, в

элементарный путь.

VIII Стягивание графа – на множестве вершин графа выделяется подмножество вершин

и производится стягивание вершин этого подмножества в одну вершину.