51.Определение производной функции в точке. (производная – это скорость).

Пусть функция определена на некотором интервале и – некоторая фиксированная точка этого интервала. – приращение аргумента. – приращение функции. Составим отношение и рассмотрим предел этого отношения при .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю. Обозначается . По определению: .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой, операция нахождения производной называется дифференцированием.

52. Механический, геометрический и экономический смысл производной.

Механический: – средняя скорость. – мгновенная скорость. Обобщая можно сказать, что если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная функции есть скорость протекания этого процесса.

Геометрический: – угловой коэффициент секущей. – угловой коэффициент касательной.

Экономический: пусть выражает количество производимой продукции u за время t. – изменение количества продукции за период времени t. – средняя производительность труда за время . - производительность труда в момент времени .

53.Таблица производных элементарных функций. Правила вычисления производных.

При вычислении производных нужно знать 1. Таблицу производных; 2. Правило производных.

1. c’ = 0; 2. X’ = 0; 3. ; 4. и ; 5. ; 6. - .

54.Дифференциал функции и его геометрическая интерпретация. Свойства дифференциала.

Пусть производная имеет в точке x производную отличную от нуля. , то есть при . Воспользуемся следующим утверждением: если функция имеет предел, то , , где – бмф. Тогда можно записать, что при и – бмф. Первое слагаемое правой части называется главной частью приращения .

Дифференциалом функции в точке x называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается dy или df. .

Геометрический смысл дифференциала функции: Дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .

Свойства дифференциала:

1. dc=0; 2. D(cu)=cdu; 3. D(u+v)=du+dv; 4. D(uv)=vdu+udv; 5. ; 6. Если и – дифференциал функции, образующей сложную функцию , то . Дифференциал сложной функции определяется формулой . Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

55.Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной n-ого порядка называется производная от производной (n-1)-ого порядка. Обозначается – 2-ого порядка, – 3-его порядка, или – 4-ого порядка, – производная n-ого порядка. Если производная 1-ого порядка от пути есть скорость, то – ускорение точки в момент времени .

Пусть – дифференцируемая функция, а x – независимая переменная. Тогда ее 1-ый дифференциал также есть функция и можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом 2-ого порядка и обозначается или . . Аналогично определяется дифференциал любого порядка. Дифференциал n-ого порядка называется дифференциалом от дифференциала (n-1)-ого порядка.