99.Объясните смысл понятия «мощность критерия».

Вероятность отвергнуть ложную гипотезу Н0 называется мощностью критерия.

На разных этапах статистического исследования возникает необходимость в формулировании и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез). Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Выдвигается основная (нулевая) гипотеза   и проверяется, не противоречит ли она имеющимся эмпирическим данным. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу  , которая противоречит нулевой.

В результате статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза; вероятность совершить такую ошибку обозначают   и называют ее уровнем значимости. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза, вероятность которой обозначают  , а мощностью критерия является вероятность  .

Вероятность правильного отклонения нулевой гипотезы H₀, когда она неверна, называется мощностью критерия. 

Определение 19.7. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза.

Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) β, то мощность критерия равна 1 – β. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.

100 Каким образом можно выбирать границы для оценки моделируемой случайной величины?

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

В инженерных задачах доверительную вероятность gназначают в пределах от 0,95 до 0,99. В доверительном утверждении считается, что статистики t₀ и t₁ являются случайными величинами и изменяются от выборки к выборке. Это означает, что доверительные границы определяются неоднозначно, существует бесконечное количество вариантов их установления.

На практике применяют два варианта задания доверительных границ:

устанавливают симметрично относительно оценки параметра, т.е. t₀ = q – Еg , t₁ = q + Еg , где Еg выбирают так, чтобы выполнялось доверительное утверждение. Следовательно, величина абсолютной погрешности оценивания Еg равна половине доверительного интервала;

устанавливают из условия равенства вероятностей выхода за верхнюю и нижнюю границу Р(Т > q + Е_1,g )=Р(Т < q – Е_2,g )=a /2. В общем случае величинаЕ_1,g не равна Е_2,g . Для симметричных распределений случайного параметра q в целях минимизации величины интервала значения Е_1,g и Е_2,g выбирают одинаковыми, следовательно, в таких случаях оба варианта эквивалентны.

Расчет границ доверительного интервала для математического ожидания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону при неизвестном среднем квадратическом отклонении, выполняется по следующим этапам:

1. для выборки, представленной вектором х_i, i=1...20, методом максимального правдоподобия рассчитываются несмещенные точечные оценки математического ожидания   и среднего квадратического отклонения  ;

2. для определения границ доверительного интервала математического ожидания вводится статистика t, распределенная по закону Стьюдента, рассчитываемая по формуле квадратическое отклонение генеральной совокупности,   - случайная величина распределенная по закону хи-квадрат с (n-1) степенями свободы, n - объем выборки;

3. примем значение доверительной вероятности P_д=0.99;

4. расчет квантилей t1, t2 статистики t для вероятностей a/2 и (1-a/2) и числа степеней свободы (n-1) с помощью обратной функции распределения закона Стьюдента:

5. расчет нижней и верхней границ доверительного интервала математического ожидания случайной величины Х по формулам  , 

64