70.Формулой Эйлера.

Тогда:

или

Очевидно, чтобы узнать состояние системы в будущем y(t + Δt), надо к настоящему состоянию системы y(t) прибавить изменение Δy, прошедшее за время Δt.

будущее = настоящее + изменение

будущее = настоящее + скорость · шаг

71.Формулой Эйлера при Δt≠0.

Эта формула может дать точные результаты только при очень малых Δt (говорят при Δt –> 0). ПриΔt≠0 формула дает расхождение между истинным значением y и расчетным, равное ε, поэтому в ней должен стоять знак приближенного равенства, либо она должна быть записана так:

y(t + Δt) = y(t) + Δt · f(x(t), y(t), t) + ε.

72.Как изменяется t (счетчик t) и y при алгоритмической реализации расчет циклом по методу Эйлера?

Численный способ решения предполагает, что расчет будет вестись по формуле Эйлера на ряде последовательных шагов. На каждом шаге решение имеет свою ошибку (см. рис. 10.2), поскольку на каждом шаге кривая заменяется прямым отрезком.

При алгоритмической реализации расчет реализуется циклом, в котором изменяется t (счетчик t) и y:

t := t + Δt y := y + 2 · t · y · Δt

73.Как обозначают порядок зависимости точности от величины шага?

1. Каждый численный метод обладает точностью, поскольку результат отличается от теоретического. Точность метода зависит от величины шага. Различные методы имеют различную точность. Порядок зависимости точности от величины шага обозначают как O(h). У метода Эйлера первый порядок точности, зависимость ошибки от величины шага линейна.

74.Каков и по какой причине порядок точности у метода Эйлера?

изменение шага в 10 раз (с 1/10 до 1/100) ведет к изменению величины ошибки примерно тоже в 10 раз (с 14% до 2%). При изменении шага в 100 раз ошибка примерно уменьшится тоже в 100 раз. Иными словами размер шага и ошибка для метода Эйлера связаны линейно. Хотите уменьшить в 10 раз ошибку — уменьшайте в 10 раз шаг и увеличивайте соответственно в 10 раз количество вычислений. Этот факт в математике принято обозначать символом ε = O(Δt), а метод Эйлера называют методом первого порядка точности.

Поскольку в методе Эйлера ошибка достаточно велика и от шага к шагу накапливается, а точность пропорциональна количеству вычислений, то метод Эйлера обычно применяют для грубых расчетов, для оценки поведения системы в принципе. Для точных количественных расчетов применяют более точные методы.

75.В каких случаях численный метод обладает сходимостью?

Если при уменьшении шага предел y_n стремится к значению y_теор., то говорят, что метод обладает сходимостью.