Вопрос 55. Что характеризуют параметры динамической системы k и t?

Если на выходе будет наблюдаться экспоненциальный сигнал, то система будет называться системой первого порядка (или звеном первого порядка). Для ее описания достаточно одной производной (а в решении модели будет присутствовать один интеграл):

У такой системы два параметра — T и k.

T характеризует инерционность системы (память). При малой величине T система слабо зависит от предыстории и вход мгновенно заставляет измениться выход. При большом значении T система медленно реагирует на входной сигнал, а при очень большом значении T система выдает неизменный выходной сигнал, практически не реагируя на входные воздействия.

Коэффициент k характеризует способность системы к усилению (при k < 1 — к ослаблению) уровня входного сигнала. Чтобы определить коэффициент k на графике, достаточно дождаться успокоения сигнала на выходе системы и вычислить отношение уровня выходного сигнала к уровню входного. Математически это означает, что все слагаемые, содержащие производные, равны нулю (система успокоилась, движения нет), а оставшееся слагаемое Y = k · X определяет значение k.

56.Передаточная функция звена первого порядка.

Звено первого порядка обладает двумя параметрами: инерционностью T и коэффициентом усиления k = Y(t = ∞)/X.

Чем больше производных учитывается в записи модели, тем со звеном большего порядка мы имеем дело, тем больше коэффициентов при производных следует определить.

Введем понятие передаточной функции как модели динамической системы. По определению передаточная функция — это отношение выхода ко входу:

W = Y/X.

Передаточная функция звена первого порядка имеет вид:

W = k/(Tp + 1),

где «p» — символ дифференцирования, тождественно равный «d/dt». Символ «p» также называется алгебраизованным оператором дифференцирования. Тогда, используя определение передаточной функции, имеем:

Y/X = k/(Tp + 1).

Далее получим:

(Tp + 1) · Y = k · X

или

T · dY/dt + Y = k · X

или

T · ΔY/Δt + Y = k · X.

57.Передаточная функция звена второго порядка.

Одной из форм записи математического описания звена является запись с помощью передаточной функции.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме

. (1.2)

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточной функцией или передаточной функцией в форме изображений Лапласа называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

Передаточную функцию в форме изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку , где – комплексная величина

,(1.4)

где

– преобразования Лапласа.

Такое сходство рассмотренных выражений для передаточных функций справедливо только при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

где:

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

В теории автоматического управления вводится понятие типовых звеньев, передаточная функция которых только в определенном частотном диапазоне соответствует реальным звеньям систем управления. Рассматривая характеристики звеньев независимо от их назначения, физического принципа действия, мощности и скорости передаваемых сигналов, можно выделить ряд типовых звеньев, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков [3]:

1) простейшие: пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие звенья;

2) звенья первого порядка: инерционные, инерционно-дифференцирующие, форсирующие и инерционно-форсирующие;

3) звенья второго порядка: колебательные, консервативные, инерционные, форсирующие.

Колебательное звено второго порядка. Звено, которое можно описать уравнением

или в другой форме

, (1.23)

где , ,

или передаточной функцией

, (1.24)

называют колебательным.