40. Корреляционная функция случайной функции.

Мат. ожидание и дисперсия характеризуют случайную функцию неполно. Для оценки зависимости двух сечений вводят новую характеристику — корреляционную функцию.

Центрированной случайной функцией называют разность между случайной функцией и ее мат. ожиданием. (t)=X(t)-m_x(t) (1)

Рассмотрим случайную функцию X(t). При двух фиксированных значениях аргумента t=t₁ и t=t₂, получим два сечения: X(t₁) и X(t₂) с корреляционным моментом M[ (t₁), (t₂)], где (t₁) и (t₂) находим по формуле (1).

Таким образом, любая пара значений t₁ и t₂ определяет систему двух случайных величин, а каждой такой системе соответствует ее корреляционный момент. Это означает, что корреляционный момент случайной функции есть неслучайная функция от двух независимых аргументов t₁ и t_2. Ее обозначают: K_x(t_1,t₂).

Корреляционной функцией случайной функции X(t) называют неслучайную функцию K_x(t_1,t₂) двух независимых аргументов t₁ и t₂, значения которой при каждой паре фиксированных значений аргумента равно корреляционному моменту сечений, соответствующих этим фиксированным значениям аргумента.

K_x(t_1,t₂)=M[ (t₁), (t₂)]

Замечание: при аргументах, равных между собой, корреляционная функция равна дисперсии.

K_x(t,t)=D_x(t)

Следовательно, чтобы определить дисперсию, достаточно знать корреляционную функцию.

Свойства корреляционных функций

1. Свойство симметрии: при перестановке аргументов корреляционной функции ее значения не меняется. K_x(t₁,t₂)= K_x(t₂,t1)

2. Прибавление к случайной функции X(t) неслучайного слагаемого (t) не изменяет ее корреляционной функции.

Если Y(t)=X(t)+(t), следовательно, K_y (t₁, t₂)=K_x(t₁,t₂)

3. При умножении случайной функцииX(t) на неслучайную функцию (t), ее корреляционная функция умножается на произведение (t₁) и (t₂)

Если Y(t)= X(t)*(t), то K_y(t_1,t₂)=K_x(t₁,t₂)*(t₁)*(t₂)

4. Абсолютная величина корреляционной функции не превосходит среднего геометрического дисперсии соответствующих сечений K_x(t₁,t₂)<=

Известно, что для оценки линейной зависимости двух случайных величин используют выборочный коэффициент корреляции.

r_xy=

41. Нормированная корреляционная функция случайной функции.

В теории случайных функций аналогом этой характеристики служит нормированная корреляционная функция.

Очевидно, что любой паре фиксированных значений аргумента t₁ и t₂ случайной функции X(t) соответствует определенный коэффициент корреляции соответствующих сечений .

Это означает, что коэффициент корреляции случайной функции есть неслучайная функция двух независимых аргументов t₁ и t₂, ее обозначают _x(t₁,t₂).

Свойства нормированной корреляционной функции

1. Свойство симметрии: при перестановке аргументов корреляционной функции ее значения не меняется. K_x(t₁,t₂)= K_x(t₂,t1)

2. Прибавление к случайной функции X(t) неслучайного слагаемого (t) не изменяет ее корреляционной функции.

Если Y(t)=X(t)+(t), следовательно, K_y (t₁, t₂)=K_x(t₁,t₂)

3. При умножении случайной функцииX(t) на неслучайную функцию (t), ее корреляционная функция умножается на произведение (t₁)(t₂)

Если Y(t)= X(t)*(t), то K_y(t_1,t₂)=K_x(t₁,t₂)*(t₁)*(t₂)

3. Абсолютная величина нормированной корреляционной функции не превышает 1.

_x(t₁,t₂)<=1